Vektor als LK von Vektoren darstellen

Question

a) Stellen Sie den Vektor \( \vec{v}=(2,4,1+i)^{T} \) als Linarkombination der Vektoren\[\begin{array}{c}{\vec{w}_{1}=\left(\begin{array}{c}{1} \\{2} \\{i}\end{array}\right), \quad \vec{w}_{2}=\left(\begin{array}{c}{i} \\{i} \\{0}\end{array}\right), \quad \vec{w}_{3}=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{1+i}\end{array}\right)} \\{\text { dar. }}\end{array}\]b) \( (\mathrm{i}) \) Sind \( \vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, \vec{w}_{3} \) linear unabhängig? (ii) \( \operatorname{sind} \vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, \vec{v} \) linear unabhängig? Begründung? Hinweis: Es ist bei b) möglich, ohne erneute Rechnung Antworten inkl. Begründungen zu liefern.

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\begin{array}{c}1 & i & 1\\2 & i & 1\\i & 0 & 1+i\end{array}\right)\cdot\vec x=\left(\begin{array}{c}2\\4\\1+i\end{array}\right)$$$$\vec x=\left(\begin{array}{c}1 & i & 1\\2 & i & 1\\i & 0 & 1+i\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}2\\4\\1+i\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec x}=\frac{1+i}{2}\left(\begin{array}{c}-1+i & 1-i & 0\\-2-i & 1 & 1\\1 & -1 & -i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\4\\1+i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\1\\-i\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad\left(\begin{array}{c}2\\4\\1+i\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c}1\\2\\i\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}i\\i\\0\end{array}\right)-i\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1+i\end{array}\right)$$

b) Wir konnten die Matrix aus den Spaltenvektoren invertieren, daher sind die Vektoren \(\{\vec w_1,\vec w_2,\vec w_3\}\) linear unabhängig. Die Vektoren \(\{\vec w_1,\vec w_2,\vec v\}\) sind ebenfalls linear unabhängig, weil \(\vec v\) nicht allein durch \(\vec w_1\) und \(\vec w_2\) ausgedrückt werden kann; wie wir in der Rechnung oben gesehen haben, brauchen wir dazu auch \(\vec w_3\) mit dem Vorfaktor \((-i)\).

Answer 2

Die gesuchte Linearkombination existiert nicht. Da die ersten beiden Koordinaten von v rein reell sind, muss der Faktor vor w₂ gleich 0 sein. Somit müsste v allein als Linearkombination von w₁ und w₃ darstellbar sein, was aber nicht funktioniert.

Comments

Der Faktor vor w_2 muss nicht reell sein.

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Das stimmt allerdings.

@GruenerRabe:

Löse doch einfach das Gleichungssystem

a+i*b+c=2

2a+i*b+c=4

a*i+c*(1+i)=1+i

Aus den ersten zwei Gleichungen folgt nach Subtraktion

a=2.

Die dritte Gleichung wird damit zu

2*i+c*(1+i)=1+i

Löse sie nach c auf.

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Die gesuchte Linearkombination existiert nicht. Da die ersten beiden Koordinaten von v rein reell sind, muss der Faktor vor w2 gleich 0 sein.

zu kurz gedacht. Wie wäre es, wenn der Faktor vor \(w_3\) gleich ein Vielfaches von \(i\) wäre, so dass sich die imaginären Anteile aufheben? Es ist $$2\vec{w}_1 + \vec{w}_2 - i \vec{w}_3 = \vec v$$