Zu (a)
$$ \int_1^n \frac{1}{x} dx < \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} < \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $$ weil die mittlere Summe die Obersumme des Integrals zur Breite \( 1 \) ist und weil die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) streng monoton fallend ist.
zu (b)
Sei \( S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \), dann gilt $$ S_{n+1} - S_n = \frac{1}{n+1} + \ln \left( \frac{n}{n+1} \right) = \ln \left( e^{ \frac{1}{n+1} } \right) + \ln \left( \frac{n}{n+1} \right) = \ln \left( e^{ \frac{1}{n+1} } \frac{n}{n+1} \right) $$
Der Ausdruck \( e^{ \frac{1}{n+1} } \) kann durch die geometrische Reihe nach oben durch \( \frac{1}{1 - \frac{1}{n+1}} \) abgeschätzt werden. Also gilt $$ S_ {n+1} - S_n < 0 $$ und damit ist \( S_n \) streng monotn fallend. Also gilt \( S_n < S_1 = 1 \)
Wegen $$ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) = \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{[x]} dx - \int_1^n \frac{1}{x} dx = \int_1^{n+1} \frac{1}{[x]} dx - \int_1^n \frac{1}{x} dx $$ Das kann man nach unten abschätzten durch \( 1 - \ln(2) \) also gilt insgesamt
$$ 1 - \ln(2) < S_n < 1 $$ Damit ist die Folge beschränkt und streng monoton fallend und damit konvergent und der Grenzwert liegt im Bereich \( ( 1 - \ln(2) , 1) \). Er wird als Euler-Mascheroni Konstante bezeichnet und ist \( \gamma \approx 0.57721 \)
