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Geben Sie alle AffinitätenT: A2→A2 mit det(→T) = 1 und Spur(→T) = 0 an, die die Geraden G1={(t,0)|t∈R}und G2={(2,t)|t∈R}jeweils auf die Geraden G′1={(t,t)|t∈R} und G′2={(5,t)|t∈R}und außerdem den Punkt p=(2,0) auf denPunkt p′=(0,0) abbilden.



Sei Te ine affine Transformation mit den geforderten Eigenschaften, wobei wir zunächst p=(2,0)annehmen. Wir setzen e1:=(1,0), e2:=(0,1), v1:=(1,1) und v2:=(5,1) sowie p1:=p+e1 und p2:=p+e2.

Da T die Gerade G1=p+⟨e1⟩nach Voraussetzungauf die Gerade G′1=p′+⟨v1⟩abbildet, gibt es eine Konstante λ∈R mit p′+λ·v1=T(p1) =p′+(→T)(→pp1) =p′+(→T)(e1). (1)

Wegen G2 =p+⟨e2⟩, G′2=p′+⟨v2⟩ existiert dann auch eine Konstante μ∈R mit p′+μ·v2=T(p2) =p′+(→T)(→pp2) =p′+(→T)(e2).   (2)


→T bedeutet immer, dass der Pfeil über dem T steht.

Kann mir jemand erklären, wie ich afu die Gleichungen (1) und (2) komme?

Ich kann die Schritte leider nicht nachvollziehen. Der Rest der Aufgabe ist mir dann klar.

Danke schon mal für eure Hilfe

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Hallo Sternchen,

die geforderte Abbildung g2=(2,t)g_2=(2,\,t) auf g2=(5,t)g_2'=(5,\, t) plus die Forderung, dass der Punkt p=(2,0)p=(2,\, 0) auf p=(0,0)p'=(0,\, 0) abgebildet wird, ist ein Widerspruch. pp liegt auf g2g_2, aber pp' liegt nicht auf g2g_2' - das geht nicht!

Überprüfe bitte noch mal die Aufgabenstellung.

Gruß Werner

Oh danke hier nochmal die verbesserte Aufgabenstellung. Ich habe bei G´2 ein t vergessen


Geben Sie alle AffinitätenT: A2→A2 mit det(→T) = 1 und Spur(→T) = 0 an, die die Geraden G1={(t,0)|t∈R}und G2={(2,t)|t∈R}jeweils auf die Geraden G′1={(t,t)|t∈R} und G′2={(5t,t)|t∈R}und außerdem den Punkt p=(2,0) auf denPunkt p′=(0,0) abbilden

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Hallo Sternchen,

die allgemeine Form für eine affine Abbildung in R2\mathbb{R}^2 ist x=(nxoxnyoy)x+(pxpy)x' = \begin{pmatrix} n_x& o_x \\ n_y& o_y\end{pmatrix} \cdot x + \begin{pmatrix} p_x\\ p_y\end{pmatrix} aus (t,0)(t,t)(t,\,0) \to (t,\, t) folgt:(nxoxnyoy)(t0)+(pxpy)=(tt)\begin{pmatrix} n_x& o_x \\ n_y& o_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p_x\\ p_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t'\\ t' \end{pmatrix} Bem: das tt muss nicht mit dem tt' im Bild identisch sein. Daraus folgt zunächst nx=nyn_x = n_y und px=pyp_x = p_y, was ich im folgenden als nn bzw. pp bezeichne.

wegen (2,t)(5t,t)(2,\, t) \to (5t,\, t) lässt sich schreiben(noxnoy)(2t)+(pp)=(5tt)    2n+oxt+p=5(2n+oyt+p)\begin{pmatrix} n& o_x \\ n& o_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ t \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p\\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5t'\\ t' \end{pmatrix} \\ \implies 2n + o_xt + p = 5(2n + o_yt + p)Da das für jedes tt gelten muss, macht man einen Koeffizientenvergleich. D.hox=5oyo_x = 5o_y für die Faktoren vor tt und 2n+p=10n+5p    p=2n2n + p = 10n + 5p \implies p = -2nfür den konstante Anteil. Damit haben wir bis jetztx=(n5ono)x2(nn)x' = \begin{pmatrix} n& 5o \\ n& o\end{pmatrix} \cdot x - 2\begin{pmatrix} n\\ n\end{pmatrix}Die Forderung (2,0)(0,0)(2,\, 0) \to (0, \, 0) ist damit automatisch erfüllt. Setze für xx das (2,0)(2,\, 0) ein, dann siehst Du es!

Bleibt noch det(T)=1\det(T)=1 und Spur(T)=0\text{Spur(T)}=0det(T)=1    non5o=1    no=14Spur(T) = 0    n+o=0    n=12,o=12\det(T) = 1 \implies n \cdot o - n \cdot 5o = 1 \implies n\cdot o = - \frac 14 \\ \text{Spur(T) = 0} \implies n + o = 0 \\ \implies n= \frac 12, \quad o= -\frac 12 oder eben umgekehrt. Eine mögliche Transformation ist dannx=(12521212)x(11)x' = \begin{pmatrix} \frac 12& -\frac 52 \\ \frac 12& -\frac 12\end{pmatrix} \cdot x - \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}und die zweite Lösung ist alles mit 1-1 multipliziert. Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte nochmal.

Gruß Werner

Avatar von 49 k

Super danke, ich schau mir das heute Mittag/Abend mal an und melde mich sonst wieder!!!

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