Hallo Sternchen,
die allgemeine Form für eine affine Abbildung in R2 ist x′=(nxnyoxoy)⋅x+(pxpy)aus (t,0)→(t,t) folgt:(nxnyoxoy)⋅(t0)+(pxpy)=(t′t′)Bem: das t muss nicht mit dem t′ im Bild identisch sein. Daraus folgt zunächst nx=ny und px=py, was ich im folgenden als n bzw. p bezeichne.
wegen (2,t)→(5t,t) lässt sich schreiben(nnoxoy)⋅(2t)+(pp)=(5t′t′)⟹2n+oxt+p=5(2n+oyt+p)Da das für jedes t gelten muss, macht man einen Koeffizientenvergleich. D.hox=5oy für die Faktoren vor t und 2n+p=10n+5p⟹p=−2nfür den konstante Anteil. Damit haben wir bis jetztx′=(nn5oo)⋅x−2(nn)Die Forderung (2,0)→(0,0) ist damit automatisch erfüllt. Setze für x das (2,0) ein, dann siehst Du es!
Bleibt noch det(T)=1 und Spur(T)=0det(T)=1⟹n⋅o−n⋅5o=1⟹n⋅o=−41Spur(T) = 0⟹n+o=0⟹n=21,o=−21 oder eben umgekehrt. Eine mögliche Transformation ist dannx′=(2121−25−21)⋅x−(11)und die zweite Lösung ist alles mit −1 multipliziert. Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte nochmal.
Gruß Werner