Stabile Verteilung berechnen / Insektenpopulation

Question

Aufgabe:

Zeige das es eine stabile Verteilung gibt, bei der sich die Zahlen von einem Intervall zum nächsten nicht verändern.

M = $\begin{pmatrix} 0 & 8 & 5 \\ 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,4 & 0 \end{pmatrix}$

Die Population einer Insektenarten entwickelt sich in den drei Stufen E,I und I2.

Ansatz:

M • $\begin{pmatrix} A\\ B\\ C \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} A\\ B\\ C \end{pmatrix}$

LGS:

1. 0,8B +5C = A

2. 0,1A = B

3. 0,4B = C

-> unendliche viele Lösungen..., das weiß ich, wegen den Vielfachen voneinander.

Und wie geht es jetzt weiter, kann ich das LGS  lösen vielleicht?

ich verstehe nicht wie ich diese LGS lösen kann???? BITTE SO GENAU WIE MÖGLICH ERKLÄREN DANKE :)

Comments

Die Zahlen passen nicht zueinander. Bitte korrigiere deine Frage entsprechend!

Answer 1

Eine Bedingung wenn man eine Stabile Verteilung sucht ist a + b + c = 1. Die muss immer eingefügt werden

8·b + 5·c = a
0.1·a = b --> a = 10·b
0.4·b = c --> c = 0.4·b
a + b + c = 1

II und III in IV einsetzen

(10·b) + b + (0.4·b) = 1 --> b = 5/57

Damit jetzt auch a und c ausrechnen

a = 10·5/57 = 50/57
c = 0.4·5/57 = 2/57

Wir hoffen, dass damit auch die erste Bedingung erfüllt ist

8·5/57 + 5·2/57 = 50/57 → stimmt

Comments

Die Lösungen sagen das man auf die stabile Verteilung führt: t *$\begin{pmatrix} 250\\25\\10 \end{pmatrix}$

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Wenn es um Populationen geht kann man den Verteilungsvektor mit einer Zahl multiplizieren

[50/57, 5/57, 2/57] * 57 = [50, 5, 2]

[50, 5, 2] * 5 = [250, 25, 10]

Das ist also eine stabile Population, die sich reproduzieren würde.

Der kleinste ganzzahlige Vektor wäre hier aber [50, 5, 2].

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Die Lösungen sagen...

...du hast vergessen, die Bestandsgröße mitzuteilen. Leider bei weitem niht der erste Fehler in deinen Fragen!

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@Gast az0815

Es ist ja angegeben t * Vektor und damit ist die Population auch beliebig. Es stehen nur die Jeweiligen Anteile fest.

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Und wie kommt man auf die Nebenbedingung? ich dachte a*b*c = 1 und nicht mit addieren?

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Wenn du eine Verteilung suchst dann sind das eigentlich anteile am ganzen und dann mussen a + b + c zusammen 100% = 1 sein.

Ich teile also 100% auf a, b und c auf sodass jeder einen Anteil erhält.

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dankeschön ,ich muss eine Frage beantworten wie die Lösung aussehe wenn man statt 8 -> 10 nimmt die lösung sagt was anderes und ich bekomm was anders raus kannst du es einmal überprüfen... bittre

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Ich habe dort eine trivale Lösung? Was bedeuteut die zum Sachkontext?

d) Im Übergangsgraphen wird die Zahl 8 durch die Zahl 10 ersetzt. Unterscuhen Sie. ob es jetzt auch eine stabile Verteilung.

Habe dort nun eine trivale Lösung raus: a=b=c=0

Was bedeutet die?

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Was bedeutet die?

Das bedeutet, dass es keine stabile Grenzverteilung gibt.

Answer 2

Die Rechnung mit den Zahlen aus der Matrix und allen vier Bedingungen:

Comments

Warum a+b+c = 1 ist keine stochastische Matrix

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Niemand hat behauptet, dass das eine stochastische Matrix ist, sondern du hast vergessen, den Bestand a+b+c mitzuteilen und dann ist eben a+b+c=1 eine sinnvolle Hilfsannahme.

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a, b oder c können doch größer als 1, ich verstehe es nicht...

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Natürlich kann a+b+c größer als 1 sein, aber wie groß dieser Wert tatsächlich ist, ist doch wohl Teil der Aufgabe gewesen.

Answer 3

Aloha :)

Bei einer Verteilung kannst du immer davon ausgehen, dass sich 100% auf die beteiligten Variablen verteilen müssen, d.h. es gibt die Nebenbedinung: $A+B+C=1$. Wenn du diese Nebenbedinung berücksichtigst, lässt sich das Gleichungssystem recht schmerzfrei lösen:

$$1=A+B+C=A+B+0,4B=A+1,4B=A+0,14A=1,14A$$$$\Rightarrow\;A=\frac{1}{1,14}=\frac{100}{114}=\frac{50}{57}$$$$\Rightarrow\;B=0,1A=\frac{1}{10}\cdot\frac{50}{57}=\frac{5}{57}$$$$\Rightarrow\;C=0,4B=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{57}=\frac{2}{57}$$

Comments

das ist keine stochastische Matrix