Krümmungsverhalten der Graphen von f

Question

Aufgabe:Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten der Graphen von f.

c) f(x)=x^3-3x^2-9x-5

f) f(x)=1/4x^4+3x^2-2

i) f(x)=(x+2)^2 • (x-1)^2 -3

Problem/Ansatz:

Ich möchte fragen ,ob meine Ergebnisse richtig sind

Answer 1

i) ist OK.

Bei f ist die 2. Ableitung immer positiv, also immer konvex

Answer 2

c)

f(x) = x^3 - 3·x^2 - 9·x - 5

f'(x) = 3·x^2 - 6·x - 9

f''(x) = 6·x - 6 ≥ 0 --> x ≥ 1

Im Intervall [1 ; ∞[ linksgekrümmt.

Im Intervall ]-∞ ; 1] rechtsgekrümmt.

Ob man jetzt 1 in beide Intervalle einschließt oder ausschließt ist Geschmackssache. Da sagt der eine Lehrer dies und der andere Lehrer das.

f)

f(x) = 1/4·x^4 + 3·x^2 - 2

f'(x) = x^3 + 6·x

f''(x) = 3·x^2 + 6 ≥ 0 → immer erfüllt

Auf ganz R linksgekrümmt.

i)

f(x) = (x + 2)^2·(x - 1)^2 - 3 = x^4 + 2·x^3 - 3·x^2 - 4·x + 1

f'(x) = 4·x^3 + 6·x^2 - 6·x - 4

f''(x) = 12·x^2 + 12·x - 6 ≥ 0 --> x ≤ - 1/2 - √3/2 ∨ x ≥ - 1/2 + √3/2

Im Intervall ]- ∞ ; - 1/2 - √3/2] linksgekrümmt.
Im Intervall [- 1/2 - √3/2 ; - 1/2 + √3/2] rechtsgekrümmt.
Im Intervall [- 1/2 + √3/2 ; ∞[ linksgekrümmt.

Answer 3

Wo soll ich anfangen?

Du schreibst etwas von einem Intervall von 0,3660 bis unendlich, wo der Graph angeblich linksgekrümmt ist,

Das ist FALSCH. Auch bei 0,36601 ist der Graph noch rechtsgekrümmt.

Wer hat euch beigebracht, EXAKTE Werte durch schlechte Näherungswerte zu ersetzen? Etwas weiter oben hattest du noch korrekte Wurzelwerte - warum rundest du plötzlich?

Du hast zwar einige Zwischenrechnungen richtig, aber auch grausam umständlich ausgeführt. Hast du noch nie etwas von binomischen Formeln gehört? Du brauchst 3 Zeilen, um von z.B. von (x+2)² auf x²+4x+4 zu kommen.  Das geht doch direkt.

Um das Krümmungsverhalten zu beurteilen, machst du in jedem Intervall eine Stichprobe mit einem einzigen Wert der zweiten Ableitung. Hat man euch das so beigebracht? Es funktioniert zwar, wenn die betrachtete Funktion "brav" ist, aber sicher ist diese Methode nicht. Ist zweite Ableitung eine quadratische Funktion, dann sollten sich doch mit deren Nullstellen in Verbindung mit der Öffnung (nach oben/unten geöffnet) sofort für gesamte Intervalle Aussagen treffen lassen, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ ist.