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Aufgabe:

Soll zeigen, dass für B ∈ ℝnxn mit Eigenvektoren v,w ∈ ℂn und a,b ∈ ℂ von 0 verschieden, av+bw kein Eigenvektor von B ist.



Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war jetzt, dass Bx=x(av+bw) lösbar sein muss

Da Bv=av ist und Bw=bw folgt

Bv+Bw=av+bw

av+bw= c

Bv+Bw=x(av+bw)

Komme da irgendwie zu nichts sind meine Notizen

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Sollen v und w zwei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sein?

1 Antwort

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Hi, wenn v v und w w Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind, sind sie linear unabhängig.

Aus B(av+bw)=μ(av+bw) B (av + bw) = \mu (av+bw) folgt aBv+bBw=aλ1v+bλ2w=μav+μbw aBv +bBw = a\lambda_1 v + b \lambda_2 w = \mu av + \mu b w mit λ1λ2 \lambda_1 \ne \lambda_ 2

D.h. es gilt (λ1μ)av+(λ2μ)bw=0 (\lambda_1 - \mu)av + (\lambda_2-\mu) bw = 0 D.h. aber λ1=λ2 \lambda_1 = \lambda_2 im Widerspruch zur Annahme. Also ist av+bw av +bw kein Eigenvektor von B B

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Wieso folgt daraus, dass phi 1 = phi 2 sein muss?

Wenn v v und w w linear unabhängig sind, gilt doch für beliege αi \alpha_i , dass aus

α1v+α2w=0 \alpha_1 v + \alpha_2 w = 0 α1=α2=0 \alpha_1 = \alpha_2 = 0 gilt.

In Deinem Fall ist es so, das α1=λ1μ \alpha_1 = \lambda_1 - \mu und α2=λ2μ \alpha_2 = \lambda_2 - \mu gilt. Damit folgt α1=λ1μ=0 \alpha_1 = \lambda_1 - \mu = 0 also λ1=μ \lambda_1 = \mu und ebenfalls λ2=μ \lambda_2 = \mu . Damit aber auch λ1=λ2 \lambda_1 = \lambda_2

Die Buchstaben heissen übrigens nicht phi sondern lambda.

Dann noch die Frage wieso man etwas gleichsetzt, das davor nicht gleich sein sollte

aλ1v+bλ2w=μav+μbw

da setzt man ja schon Lambda 1 und 2 gleich

Die linke Seite kommt wegen der Linearität bzgl. der Matrixmultiplikation zustande und die rechte weile av+bw av + bw ein Eigenvektor sein soll, was dann zum Widerspruch geführt werden soll.

Mal nebenbei, was studierst Du? Weil diese Aufgabe ist für Mathematiker eigentlich Standard.

Ok schon verstanden hatte die Formel auch noch falsch rechte Seite wäre ja aus meinem A(av+bw)=x(av+bw) die rechte Seite

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