Matrixdarstellung A,VV bezüglich Basis v=(v1,v2)

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l} \\ {\text { Gegeben seien eine lineare Abbildung } \varphi : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \text { und Vektoren } v_{1}, v_{2} \in \mathbb{R}^{2} \text { mit }} \\ {\qquad \varphi\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x_{1}-x_{2}} \\ {x_{2}-x_{1}}\end{array}\right), v_{1}=\left(\begin{array}{c}{\frac{3}{5}} \\ {\frac{4}{5}}\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c}{-\frac{4}{5}} \\ {\frac{3}{5}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \text { . }} \\ {\text { a) Überprüfen Sie } \varphi \text { auf Injektivität und Surjektivität. }} \\ {\text { b) Zeigen Sie, dass } \mathcal{V}=\left(v_{1}, v_{2}\right) \text { eine Orthonormalbasis des } \mathbb{R}^{2} \text { ist. }} \\ {\text { c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung } A_{\mathcal{V}}^{V} \text { von } \varphi \text { bezüglich der Basis } \mathcal{V}=\left(v_{1}, v_{2}\right)}\end{array}$$

geht um c)

Problem/Ansatz:

Basen abbilden?

\begin{pmatrix} 3/5 & -4/5 \\ 4/5 & 3/5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/5 &e \\ f& g \end{pmatrix}

das dann einfach weiter lösen und das ist dann die Abbildungsmatrix? also a,b,c,d

Comments

Bitte reagiere auch mal noch, auf die gestrige Duplikatsmeldung, damit man dort die "Meldung" aufheben und das was doppelt ist ausblenden kann. https://www.mathelounge.de/648977/injektivitat-subjektivitat-beweise…

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Teilaufgabe davon

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Heisst das immer noch dieselbe Aufgabe?

Nicht, dass dir immer wieder das Gleiche vorgerechnet werden muss :)

Bitte bei vorhandenen Fragen so lange nachfragen, bis alles klar ist. Die gleichen Rechnungen ständig wieder vorrechnen lassen ist bestimmt nicht nötig.

Bsp. https://www.mathelounge.de/654715/matrixdarstellung-von-f-bezuglich-…

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Sicherlich sind beide Threads zusammenhängend.

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildung $\varphi=\left(\begin{array}{c}x_1-x_2\\x_2-x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1-x_2\\-x_1+x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$ ist bezüglich der Einheitsbasis $E$ gegeben. Wenn die Eingangsvektoren zur Basis $V$ vorliegen, musst du sie zunächst in die Koordinaten bezüglich der Einheitsbasis transformieren. Dazu trägst du die $V$-Basisvektoren als Spalten in eine Matrix ein und erhältst damit die Transformationsmatrix von der $V$-Basis in die E-Basis: $_E\!T_V=\left(\begin{array}{c}3/5 & -4/5\\4/5 & 3/5\end{array}\right)$. Die gesuchte Matrix ist nun:$$_V\!\varphi_V=_V\!T_E\cdot\varphi\cdot\, _ET_V=\left(\begin{array}{c}3/5 & -4/5\\4/5 & 3/5\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3/5 & -4/5\\4/5 & 3/5\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}3/5 & 4/5\\-4/5 & 3/5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3/5 & -4/5\\4/5 & 3/5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,04 & 0,28\\0,28 & 1,96\end{array}\right)$$

Comments

Genau das will ich verstehen.

Muss diese Formeln checken.

$$\nu \varphi_{V}=_{V} T_{E} \cdot \varphi \cdot_{E} T_{V}$$

was genau bedeuten diese Formeln?

Basis abgebildet auf Basis = Kanonische Basis Transformation auf Basis das dann abgebildet und Basiswechsel auf B ?

Verstehe die Logik hinter diesen Formeln nicht um diese anzuwenden und zu wissen, was ich machen muss und was gefragt ist

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Und wie ist das, wenn ich von Basis 1 auf Basis 2 wechseln muss also 2 gegeben habe und auf die 2. wechseln muss, wie weiß ich von welcher die jeweilige Abbildung ausgehen soll und ob ich die kanonische Basis benötige oder nicht

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Schau dir bitte mal das Video an, da wird das ganz gut erklärt:

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$$v \varphi_{V}=_{V} T_{E}$$ 

Was T steht ja für Transformationsmatrix und Phi? 

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Das $\varphi$ ist die Abbildung in Matrix-Form, die habe ich ganz oben in der ersten Zeile ausgerechnet.

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Kann ich immer von der kanonischen Basis ausgehen?

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Koordinaten beziehen sich immer auf eine Basis. Sobald also irgendwo Koordinaten auftauchen, muss dazu eine Basis gehören. Wenn, wie in deiner Aufgabe, die Vektoren einer neuen Basis mit Koordinaten angegeben werden, müssen diese Koordinaten zur Standard-Basis bzw. zur kanonischen Basis gehören. Die neue Basis wird ja gerade erst durch diese Vektoren definiert.

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Im 3. Teil des Videos ist die Formel mit ID

ist ID = T, oder gibt es da n Unterschied?

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Und bei eTv wie ist das logisch erklärt, dass es die Basis als Matrix ist?