Von der Funktion f(x) = x³ - 4x² + 5x - 2

Question

es geht um folgende Aufgabe:

Andreas schreibt folgende Rechnung auf:

f(x) = x³ - 4x² + 5x - 2

Nullstelle x1 =1

(x³ - 4x² + 5x - 2) : (x - 2) = x² - 3x + 2

-(x³ - x²)

--------------------

         -3x² + 5x

        -(-3x² + 3x)

        ----------------------

                2x - 2

              -(2x - 2)

              -----------------------

                     0

                     → x² - 3x + 2 = 0

                     →x = 1,5 ± √ 2,25 + 2 = -1,5 ± 0,5.

                     →x² = 2 und x3 = 1.

Es gibt also drei Nullstellen.

Sie lauten x1 = 1; x2= 2 und x3 = 1.

a) Wie könnte eine Aufgabe lauten, die zu dieser Rechnung gehört?

b) Finden Sie die drei Fehler von Andreas und korrigieren Sie diese.

Aufgabe a würde ich so lösen:

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f in Linearfaktoren.

Bei Aufgabe b habe ich allerdings meine Schwierigkeiten, da ich nicht darauf komme, wie ich da die Fehler finden kann.

Ich würde mich über eine Erklärung und Hilfestellung sehr freuen.

Answer 1

Aloha :)

Ein mögliche Aufgabenstellung könnte sein: "Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f(x)."

$$f(x) = x^3-4x^2+5x-2$$Die Nullstelle bei \(x_1=1\) hat Andreas korrekt erkannt. Allerdings dividiert er bei der Polynomdivision durch \((x-2)\) statt durch \((x-1)\). Die Polynomdivision durch \((x-1)\) liefert:

$$\begin{array}{c}1 & -4 & 5 & -2\\\Downarrow&1&-3&2\\1&-3&2&0\end{array}$$$$\Rightarrow\quad f(x)=(x^2-3x+2)(x-1)$$Den quadratischen Teil kann man sofort faktorisieren, denn \((-2)+(-1)=(-3)\) und \((-2)\cdot(-1)=2\).

$$\Rightarrow\quad f(x)=(x-2)(x-1)(x-1)$$$$\Rightarrow\quad f(x)=(x-2)(x-1)^2$$

Comments

Ich bedanke mich herzlich für die ausführliche Erklärung :)

Answer 2

bei der Polynomdivision wurde durch (x - 1) geteilt, aber geschrieben hat Andreas  : (x - 2).

In der pq-Formel muss unter der Wurzel - 2 stehen, und nicht +2

 Aus 1,5 wird  auf einmal - 1,5

Man sollte vielleicht noch erwähnen, dass bei x = 1 eine doppelte Nullstelle ist.

Gruß, Silvia

Comments

Schade das du nicht die beste Antwort bekommen hast. Du hast die Aufgabe als einzige Person richtig verstanden und richtig bearbeitet.

Die anderen hätten in einer Klausur einen Vermerk Thema verfehlt bekommen.

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Wieso? Andreas hat Methoden verwendet, die viel zu kompliziert für das gegebene Problem waren. Diese Methoden wurden durch einfachere ersetzt. (Schnelle Polynom-Division statt ausführliche und Satz von Vieta statt pq-Formel).

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b) Finden Sie die drei Fehler von Andreas und korrigieren Sie diese.

Thema verfehlt.

Offensichtlich ist es nicht Sinn der Aufgabe sich Alternativen auszudenken sondern sich mit der Polynomdivision zu beschäftigen.

Wie gesagt in einer Klausur hätte ich dir aber ein Kreativitätspunkt als Trost gegeben.

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Du hast es vielleicht nicht gesehen, aber ich habe die Polynom-Division sogar explizit vorgeführt:

$$\begin{array}{c}1 & -4 & 5 & -2\\\Downarrow & 1 & -3 & 2\\1 & -3 & 2 & 0\end{array}$$

Du hättest mir Kreaitivitätspunkte gegeben und ich hätte dir erklärt, wie man die Polynom-Division schnell durchführt. So hätten wir beide was davon gehabt ;)

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Die schnelle Version der Polynomdivision heißt Horner-Schema.

Die ist in der Tat zu bevorzugen. Leider ging es darum nicht.

Answer 3

Die drei Fehler von Andreas befinden sich alle in der Polynomdivision. Rechne die mal nach!