Bakterien in Käseverpackung: Wie hoch ist die relative Änderung pro Stunde in Prozent?

Question

Aufgabe:

In einer Käseverpackung befinden sich zum Zeitpunkt der Verpackung 230 Tsd. Bakterien. 20 Stunden später sind es schon 681 Tsd. Es wird vorausgesetzt, dass die relative Änderung der Bakterien konstant ist. Wie hoch ist die relative Änderung pro Stunde in Prozent?

Problem/Ansatz:

Mein Lösungsansatz ist :

ln(681/230) : 20 = 5,43%

aber leider stimmt dieses Ergebnis so nicht. Wo liegt der Fehler? Vielen Dank!

Answer 1

Eine ähnliche Aufgabe findest du hier https://www.mathelounge.de/658716

Deine Aufgabe wird auch so gerechnet.

In einer Käseverpackung befinden sich zum Zeitpunkt der Verpackung 230 Tsd. Bakterien. 20 Stunden später sind es schon 681 Tsd. Es wird vorausgesetzt, dass die relative Änderung der Bakterien konstant ist. Wie hoch ist die relative Änderung pro Stunde in Prozent?

(681/230)^(1/20) - 1 = 0.0558 = 5.58%

Es handelt sich um ein 5.58% stündliches Wachstum.

Answer 2

f ( 0 ) = 230
f ( 20 )  = 681

f ( t ) =  a * f ^t
f ( 0 ) = a * f^0 = 230
a = 230

f ( 20 ) = 230 * f^20 = 681
f^20 = 681 / 230
f = (681/230) ^(1/20)
f = 1.05577

oder mit ln
ln (f^20 ) = ln( 681 / 230)
20 * ln(f) = ln( 681 / 230)
ln ( f ) = 0.05427
f = 1.05577

5.577 %

In deiner Frage tauchen die Zahlen
immer verdoppelt auf. 20 => 2020

Answer 3

Aloha :)

$$230.000\cdot\left(1+p\right)^{20}=681.000$$$$\left(1+p\right)^{20}=\frac{681}{230}$$$$1+p=\sqrt[20]{\frac{681}{230}}$$$$p=\sqrt[20]{\frac{681}{230}}-1$$$$p\approx5,5774\%$$