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Aufgabe:

Gegeben ist 500 Gramm radioaktive Substanz Masse sich 24 h um 5 % verringert


A) Berechnen Sie die Halbwertszeit

B) Berechnen Sie die Zeit, die es zum Zerfall benötigt, bis zur noch 1 Gramm übrig bleibt

Problem/Ansatz:

Brauche unbedingt die Aufgabe B)

A = 13.5 Tage

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Stell die zerfallsfunktion auf, setze sie gleich 1 (für ein Gramm) und löse dann nach t auf (Wie bei aufgabenteil A auch).

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Aloha :)

Für das Zerfallsgesetz \(M=M_0e^{\alpha\cdot t}\) entnehmen wir der Aufgabensellung \(M_0=500\,g\) und ermitteln die Zerfallskonstante \(\alpha\) aus der Angabe, dass sich die Masse pro Tag um 5% verringert:$$0,95=e^{\alpha\cdot1}\;\;\Leftrightarrow\;\;\alpha=\ln(0,95)$$Daher lautet das Zerfallsgesetz hier:$$M(t)=M_0\,e^{\ln(0,95)\,t}\quad;\quad t\text{ in Tagen}\quad;\quad M_0=500\,g$$

zu a) Bei der Halbwertszeit \(T_{1/2}\) hat sich die Masse exakt halbiert, daher gilt:$$\left.\frac{1}{2}M_0=M_0\,e^{\ln(0,95)\,T_{1/2}}\quad\right|\;:M_0$$$$\left.\frac{1}{2}=e^{\ln(0,95)\,T_{1/2}}\quad\right|\;:\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(0,95)\,T_{1/2}\quad\right|\;:\ln(0,95)$$$$T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0,95)}\approx13,5134\,\text{(Tage)}$$

zu b) Nach der Zeit \(T_{1/500}\) soll nur noch \(1\,g\) der ursprünglichen Masse übrig sein, das heißt:

$$\left.1=500\,e^{\ln(0,95)\,T_{1/500}}\quad\right|\;:500$$$$\left.\frac{1}{500}=e^{\ln(0,95)\,T_{1/500}}\quad\right|\;:\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{500}\right)=\ln(0,95)\,T_{1/500}\quad\right|\;:\ln(0,95)$$$$T_{1/500}=\frac{\ln\left(\frac{1}{500}\right)}{\ln(0,95)}\approx121,1583\,\text{(Tage)}$$

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Dankeschön!!! ♥️

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Masse halbiert in
0.95 ^t = 0.5
t ' ln(0.95) = ln(0.5)
t = 13.51 Tage

B.)
B) Berechnen Sie die Zeit, die es zum Zerfall benötigt, bis zur noch 1 Gramm übrig bleibt

Über Halbwertzeit
500 * 0.5 ^( t/13.51) = 1
0.5 ^ (t*/13,51) = 1/500
t*/13,51 * ln(0,5) = ln(1/500)
t/13.51 = 8.9658
t = 121.16 Tage

oder
über einfache Exponentialfunktion
500 * 0.95^t = 1
t * ln(0.95) = ln(1/500);
t = 121.16 Tage

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