Differenzialgleichung m • a = -D • s lösen

Question

Aufgabe:

Wie löse ich diese Dieffernzialgleichung:

m • a = -D  • s

Sodass am Ende folgt: y( t) = ymax sin (ωt +φ₀ )

Comments

Vgl. https://www.mathelounge.de/659281/differenzialgleichungen-schwingungsgleichung-mathematisch

und https://www.nanolounge.de/23807/harmonische-schwingungsgleichung

Das sind alles auch Fragen von cool2000

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Beschleunigung \(a\) durch die zweifache Ableitung des Ortes \(s\) nach der Zeit \(t\) ersetzen:

$$m\cdot a=-D\cdot s$$$$m\cdot\ddot s=-D\cdot s$$$$\ddot s=-\frac{D}{m}\,\cdot s$$Ansatz: $$s(t)=s_0\sin(\omega t+\varphi_0)$$$$\dot s(t)=\omega\cdot s_0\cos(\omega t+\varphi_0)$$$$\ddot s(t)=-\omega^2\cdot s_0\sin(\omega t+\varphi_0)$$$$\ddot s(t)=-\omega^2\cdot s(t)$$$$\Rightarrow\quad s(t)=s_0\,\sin\left(\omega t+\varphi_0\right)\quad;\quad\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$$Die Konstanten \(s_0\) und \(\varphi_0\) kannst du aus den Anfangsbedinungen bestimmen.

Comments

den Ansatz verstehe ich nicht, ich möchte ja die gleichung herrasufinden?

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Es wäre für den Antwortenden immer Hilfreich was du nicht verstehst?

Weißt du wofür a und s in deiner Gegebenen Gleichung stehen oder hapert es schon an der Bedeutung der Buchstaben?

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ne, das ist mir alles klar. Aber ich verstehe nicht genau s(t)=s0sin(ωt+φ0) darauf kommst. iCH MÖCHTE GENAU DIESE GLEICHUNG HERLEITEN. Also von anderen gleichungen Zeigen.

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Du brauchst als Lösung eine Funktion, die bis auf eine negative Konstate mit sich selbst übereinstimmt. Dafür bieten sich die Sinus- und die Cosinus-Funktion an.

Wenn du das nicht "weißt" und selbst berechnen möchtest, benötigst du komlexe Zahlen. Die Exponentialfunktion abgeleitet ist wieder die Exponentialfunktion. Daher macht man den Ansatz: $$s(t)=ae^{\lambda t}\;\Rightarrow\;\dot s=\lambda\cdot ae^{\lambda t}\;\Rightarrow\;\ddot s=\lambda^2\cdot ae^{\lambda t}$$Das kannst du nun in die Differentialgleichung einsetzen und findest, dass$$\lambda^2=-\frac{D}{m}$$Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist in \(\mathbb{R}\) aber nicht definiert, daher musst du zu komlexen Zahlen \(\mathbb{C}\) übergehen:

$$\lambda=\pm i\,\sqrt{\frac{D}{m}}$$Das in die Exponential-Funktion eingesetzt liefet die Lösungen:

$$s(t)=a_1\,e^{+i\sqrt{D/m}\cdot t}+a_2\,e^{-i\sqrt{D/m}\cdot t}$$

Das kannst du jetzt mit der Euler-Identiät \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) in den Ansatz von oben umformen.

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warum benötige ich die komplexen Zahlen?

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Wie würdest du denn die Wurzel aus einer negativen Zahl ohne komplexe Zahlen bestimmen?

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ich glaube das ist etwas alles sehr komplex. Ich wollte nur die harmonische Schwinungsgleichung herleiten.

Eventuelle mit dem Einheitskreis

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Kannst du mir den PUNKT aNSATZ ERKLÄERN?

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Kannst du mir den PUNKT aNSATZ ERKLÄERN?

Kennst du zufällig eine Funktion, die man zweimal ableitet die sich dann selber mit negativem Vorzeichen ergibt?

Also

y'' = -y

Das ist quasi der Ansatz ohne die Faktoren. Und eigentlich solltest du so eine Funktion kennen.