Zeigen Sie: Wenn R zugleich vollständig und symmetrisch ist, gilt R = A × A.

Question

Aufgabe:

Es sei R eine Relation in einem nichtleeren kartesischen Mengenprodukt der Form A × A.

Zeigen Sie:

(i) Wenn R zugleich vollständig und symmetrisch ist, gilt R = A × A.

Meine Überlegung:

Gegeben:

Symmetrie: ∀x,y ∈ A: x R y => y R x

Vollständigkeit: ∀x,y ∈ A: x R y oder y R x

Daraus folgt: Durch die Symmetrie ist gezeigt, dass (x,y) immer in der gleichen Relation steht wie (y,x). Damitist die Vollständigkeit in jedem Fall wahr. Kann ich diese Erkenntnis in der Vollständigkeit benutzen, um zu zeigen, dass für absolut alle Paare (x,y) ∈ A und (y,x) ∈ A gilt, dass sie auch ∈ von R sind? (Da (x,y) ∈ R = x R y)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Symmetrie und Vollständigkeit

Um zu zeigen, dass aus der Kombination von Symmetrie und Vollständigkeit einer Relation \(R\) in \(A \times A\) folgt, dass \(R = A \times A\) ist, betrachten wir die Definitionen von Symmetrie und Vollständigkeit etwas genauer.

Symmetrie: Eine Relation \(R\) in einer Menge \(A\) ist symmetrisch, wenn für alle \(x, y \in A\) gilt: Wenn \(xRy\), dann auch \(yRx\). In einfacheren Worten: Wenn ein Paar \((x,y)\) in der Relation \(R\) liegt, dann muss auch das umgekehrte Paar \((y,x)\) in der Relation liegen.

Vollständigkeit: In diesem Kontext bedeutet Vollständigkeit, dass für alle Paare \(x, y \in A\) entweder \(xRy\) oder \(yRx\) (oder beides) gilt. Das bedeutet, es gibt keine zwei Elemente in \(A\), zwischen denen keine Beziehung besteht. Jedes Element steht in Relation zu jedem anderen Element, entweder direkt oder umgekehrt.

Beweis, dass \(R = A \times A\):

Um zu zeigen, dass aus diesen beiden Eigenschaften folgt, dass \(R = A \times A\), gehen wir schrittweise vor:

1. Vollständigkeit bedeutet, dass für jedes mögliche Paar \((x, y)\) in \(A\) mindestens eine der Beziehungen \(xRy\) oder \(yRx\) existiert. Es gibt also keine Elemente in \(A\), zwischen denen keine Relation besteht.

2. Symmetrie fügt hinzu, dass, wenn \(xRy\) gilt, zwangsläufig auch \(yRx\) gilt. Dies bedeutet, dass, wenn ein Paar \((x, y)\) in der Relation ist, das umgekehrte Paar \((y, x)\) ebenfalls in der Relation sein muss.

Die Kombination dieser beiden Bedingungen bedeutet, dass für jedes Paar \((x, y) \in A \times A\), ohne Ausnahme, die Beziehung \(xRy\) und \(yRx\) gelten muss. Daher muss jedes mögliche Paar von Elementen aus \(A\) in der Relation \(R\) enthalten sein, d.h. \(R\) muss alle möglichen Paare in \(A \times A\) enthalten.

Da \(R\) alle Paare enthält, die aus der Menge \(A\) gebildet werden können, und \(A \times A\) die Menge aller dieser Paare ist, folgt daraus, dass \(R = A \times A\).

Kurz gesagt: Die Vollständigkeit gewährleistet, dass es keine "fehlenden Verbindungen" zwischen irgendwelchen Elementen in \(A\) gibt, während die Symmetrie sicherstellt, dass diese Verbindungen "bidirektional" sind. Zusammen bedeutet dies, dass alle möglichen Verbindungen (Paare) in \(R\) vorhanden sein müssen, woraus \(R = A \times A\) folgt.