Antwort mit KI erzeugt
Um zu prüfen, welche Vektorraumaxiome für
R2 mit den gegebenen Operationen
(x,y)⊕(x′,y′)=(x+x′,0)
und
λ⊗(x,y)=(λx,0)
erfüllt sind, gehen wir jedes Axiom durch und überprüfen seine Gültigkeit unter den angegebenen Operationen.
Axiom 1: 1⋅a=a
Für ein beliebiges Vektorelement
(x,y)∈R2, verwenden wir die Skalarmultiplikation mit
1:
1⊗(x,y)=(1⋅x,0)=(x,0)
Das Ergebnis ist
(x,0), nicht
(x,y), was bedeutet, dass dieses Axiom unter der gegebenen Skalarmultiplikation nicht erfüllt ist, wenn
y=0.
Axiom 2: (λ⋅μ)⋅a=λ⋅(μ⋅a)
Um dieses Axiom zu testen, wählen wir zwei Skalare
λ,μ∈K (den zugrunde liegenden Körper) und einen Vektor
(x,y)∈R2. Zuerst berechnen wir
(λμ)⊗(x,y):
(λμ)⊗(x,y)=((λμ)x,0)
und dann
λ⊗(μ⊗(x,y)):
λ⊗(μ⊗(x,y))=λ⊗(μx,0)=(λ(μx),0)=((λμ)x,0)
Da beide Seiten zu ((
λμ)x,0 übereinstimmen, ist dieses Axiom erfüllt.
Axiom 3: λ⋅(a+b)=λ⋅a+λ⋅b
Betrachte zwei Vektoren
(x,y),(x′,y′)∈R2 und skaliere
λ. Die linke Seite ergibt:
λ⊗((x,y)⊕(x′,y′))=λ⊗(x+x′,0)=(λ(x+x′),0)
Die rechte Seite ist:
λ⊗(x,y)+λ⊗(x′,y′)=(λx,0)⊕(λx′,0)=(λx+λx′,0)
Da
(λ(x+x′),0) =
(λx+λx′,0), ist dieses Axiom ebenfalls erfüllt.
Axiom 4: (λ+μ)⋅a=λ⋅a+μ⋅a
Für ein beliebiges Element
(x,y)∈R2, berechnen wir die linke Seite:
(λ+μ)⊗(x,y)=((λ+μ)x,0)
Und die rechte Seite:
λ⊗(x,y)⊕μ⊗(x,y)=(λx,0)⊕(μx,0)=(λx+μx,0)
Da beide Seiten
((λ+μ)x,0) sind, ist auch dieses Axiom erfüllt.
Zusammenfassung:
Unter den gegebenen Operationen und für allgemeine Werte
x,y,λ,μ:
-
Axiom 1 ist nicht erfüllt, es sei denn,
y=0.
-
Axiom 2,
3, und
4 sind erfüllt.
Die spezifischen Operationen definieren daher keine Vektorraumstruktur auf
R2 im herkömmlichen Sinne, da nicht alle Grundaxiome erfüllt sind, insbesondere wenn
y=0.