Picard-Iteration (xxxx)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung(en) der Differentialgleichung
$$y' = x^2+y^2$$
mit
$$y(0) = 0$$
mit dem Verfahren von Picard-Lindelöf.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte zur Kontrolle den Term $y_5$ in exakter ! Darstellung.

Answer 1

Ist das eine Strafaufgabe ? Die Aufgabe zeigt doch eigentlich nur, dass dieses Iterationsverfahren in den meisten Fällen nach wenigen Schritten zu komplex wird.

$$y' = f(x,y) = x^2 + y^2$$

$$y0 = 0$$
$$y1 = y0 + \int_{0}^{x} f(t,y0) dt = \frac{1}{3} x^3$$
$$y2 = y0 + \int_{0}^{x} f(t,y1) dt = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{63} x^7$$

$$y3 = y0 + \int_{0}^{x} f(t,y2) dt = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{63} x^7 + \frac{2}{2079} x^{11} + \frac{1}{59535} x^{15}$$
$$y4 = y0 + \int_{0}^{x} f(t,y3) dt = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{63} x^7 + \frac{2}{2079} x^{11} + \frac{13}{218295} x^{15} + \frac{82}{37328445} x^{19} + \frac{662}{10438212015} x^{23} + \frac{4}{3341878155} x^{27} + \frac{1}{109876902975} x^{31}$$
$$y5 = y0 + \int_{0}^{x} f(t,y4) dt = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{63} x^7 + \frac{2}{2079} x^{11} + \frac{13}{218295} x^{15} + \frac{46}{12442815} x^{19} + \frac{7382}{39665205657} x^{23} + \frac{428}{50998121559} x^{27} + \frac{17853193}{52289648987481675} x^{31} + \frac{738067298}{60394544580541334625} x^{35} + \frac{10307579354}{26851414520508677374275} x^{39} + \frac{6813116}{667791107219128471425} x^{43} + \frac{89797289962}{407191917287292044684671125} x^{47} + \frac{1159084}{308193360994502430591375} x^{51} + \frac{721012}{15328564533673936679413125} x^{55} + \frac{8}{21664518085681213656375} x^{59} + \frac{1}{760594829864786522589375} x^{63}$$

Comments

Passt, ich habe das selbe raus.

Das ist keine Strafaufgabe, ich rechne grundsätzlich immer mit exakten Werten.