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Aufgabe:

Wir betrachten eine numerische Approximation des AWP

x'=-x mit x(0)= 1


Berechnen Sie eine Iteration des LMM


xj+2 = \( \frac{4}{3} \)* xj+1 -\( \frac{1}{3} \)*xj +\( \frac{2*h}{3} \) *f(xj+2)


Problem/Ansatz:


ich habe die mehrschritt gleichung nach der allgemeinen vorrschirft umgestellt und dann dann die werte eingesetzt. F(x_j+2) habe ich gelassen und dann nach f umgestellt und bekomme:

3*xj+2-1 = f(xj+2})

Was muss ich jetzt machen oder ist mein ansatzt falsch?

von

Mir ist dein Ergebnis \( 3 x_{j+2} - 1 = f(x_{j+2}) \) ĂŒberhaupt nicht klar. Wie bist Du darauf gekommen? Das ist keine Iteration mehr und die Schrittweite fehlt auch. Schreib das mal detaillierter auf.

ach tut mir leid es wurde noch gegeben h= 1/2 ; x0=1 ; x1= 1/2  ; f(x)=-x2


ich habe h x0 und x1 eingesetzt und nach f(xj+2) aufgelĂ¶ĂŸt

Hallo aber f(xj+2)=-xj+2^2?

wie bist du darauf gekommen?

da steht doch x'=f(x)=-x^2

lul

1 Antwort

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Mit den gemachten Angaben bekommt man doch folgende rekursive Gleichung

$$ x_{j+2} + \frac{2}{3} h x_{j+2}^2 - \frac{4}{3} x_{j+1} + \frac{1}{3} x_j = 0 $$

Das sit eine quadratische Gleichung fĂŒr \( x_{j+2} \) die man lösen kann.

Die Lösungen sind $$ x_{j+2_{1,2}} = \frac{-3 \pm \sqrt{ 9 +32 h x_{j+1} - 8 h x_j } } { 4h } $$

Das ist jetzt eine normale rekursive Gleichung die mit den gegebenen Anfangswerten gelöst werden kann.

Die Lösung der Ausgangs Dgl. ist $$ x(t) = \frac{1}{t+1} $$

Das sieht dann so aus

blob.png  

und die Übereinstimmung wird besser, je kleiner \( h \) wird.

von 37 k

FĂŒr welches Vorzeichen hast Du Dich bei der Wurzel entschieden?

FĂŒr das \( + \). Beim Minuszeichen werden die Lösungen imaginĂ€r.

wie bist du von xj+2 also da wo du die quadratische gleichung auflĂ¶ĂŸt auf x(t) gekommen ?

x(t) ist die exakte Lösung. Hat nichts mit der NÀherungslösung zu tun.

achso okay

wenn ich jetzt xj+2  ausrechne und die formel wie du es hast aufschreibe. setzte ich dann x0, x1 und h ein ?

Ja genau,..................

Übrigens ist es ja nicht in jedem Fall möglich, die nichtlineare Gleichung fĂŒr \( x_{j+2} \) analytisch aufzulösen wir hier beschrieben.

Normalerweise löst man dann das Problem dadurch, dass man die nichtlineare Gleichung fĂŒr \( x_{j+2} \) durch ein NĂ€herungsverfahren löst. Das kann man mittels Banachschem Fixpunktsatz machen oder mit dem Newtonverfahren.

Da das aber in jedem Iterationsschritt gemacht werden muss ist es aufwendig. Außerdem hast Du das Problem, dass man die Konvergenz des NĂ€herungsverfahren sichern muss. Und das ist nicht so einfach. Das Newtonverfahren konvergiert nur, wenn man einen Startwert in NĂ€he der Lösung hat.

Beim Banaschem Fixpunktsatz musst Du nachweisen das eine kontrahierende Abbildung vorliegt. Ist manchmal auch nicht einfach oder einfach auch nicht gegeben.

Deshalb bin ich kein Freund solcher Verfahren. Stell Dir mal vor, Du hast eine sicherheitskritische Anwendung und Dein Verfahren konvergiert nicht oder gegen den falschen Wert. Dann wird es wirklich kritisch.

Und wenn dann noch eine Schrittweitensteuerung dazu kommt wirds nochmal komplizierter.

Hallo,

allerdings mildert das typische Mehrschrittverfahren die von Dir genannten Probleme:

Beim Newtonverfahren ist die letzte NĂ€herung ein guter Startwert fĂŒr die nĂ€chste NĂ€herung

Beim Iterationsverfahren hat "das f" im allgemeinen einen Faktor h, der als Schrittweite ja "klein" ist.

Gruß Mathhilf

Ja das ist richtig. Ich arbeite aber in einem sicherheitskritischen Bereich. Da sind solche Verfahren nicht erlaubt, insbesondere wegen des fehlenden Nachweises der Konvergenz. Wir verwenden nur explizite Verfahren.

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