0 Daumen
422 Aufrufe

ich komme bei folgendem Integral nicht weiter, es sieht so einfach aus, aber mir fehlt die Idee...

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx$$Auf www.integralrechner.de kommt als Ergebnis 0,785398... heraus, aber der dort angezeigte Rechenweg ist ein völlig unübersichtliches Monster. Da wird hin und her und kreuz und quer substituiert und die Terme sind riesig. Ich brauche aber nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Rechenweg.

Hoffentlich könnt ihr mir helfen...

DerUnwissende

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wow, das war eine kleine Herausforderung. Nach einigem Probieren möchte ich dir folgenden Lösungsweg vorschlagen. Der Cosinus stört, deswegen schreiben wir diesen mittels \(\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) als Sinus.$$I:=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx$$Jetzt substituieren wir:

$$u(x):=\frac{\pi}{2}-x\;\;;\;\;dx=-du\;\;;\;\;u(0)=\frac{\pi}{2}\;\;;\;\;u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$Die Integrationsgrenzen vertauschen also und wegen \(x=\frac{\pi}{2}-u\) gilt:

$$I=\int\limits_{\pi/2}^0\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right) }+\sqrt{\sin u}}\,(-du)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-u\right) }+\sqrt{\sin u}}\,du$$Das Minuszeichen vor dem \(du\) wurde durch Vertauschung von Ober- und Untergrenze kompensiert. Da \(u\) hier nur ein Name für die Integrationsvariable ist, können wir \(u\) auch einfach wieder durch \(x\) ersetzen. [Ein "x" für ein "u" vormachen ;)] und erhalten:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\,dx$$Jetzt haben wir 2 Ausdrücke für das gesuchte Integral \(I\), die wir addieren können:

$$2I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx+\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}+\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }+\sqrt{\sin x}}\right)\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$$$$\Rightarrow\quad I=\frac{\pi}{4}$$

Avatar von 148 k 🚀

Super Lösung und dann noch verständlich erklärt!!!

Da muss man erstmal drauf kommen.

Danke dir vielmals.

+1 Daumen

Dieses Problem kannst Du auch über die Weierstraß -Substitution lösen:

t= tan(x/2) ------->

sin(x) = (2t)/(1+t^2)

cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

dx= (2dt)/(1+t^2)

Avatar von 121 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community