Kombinatorik-Herstellung von Zahnpasta

Question

Aufgabe:

Für die Herstellung von Zahnpasta kommen 1 Grundsubstanz sowie 8 verschiedene Wirkstoffe in Frage. b) Die Grundsubstanz kann aus bis zu 3 Substanzen zusammengemischt werden. Aus Kostengründen können aber max. 2 Substanzen verwendet werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es die Grundsubstanz bzw. die Zahnpasta herzustellen?

Problem/Ansatz:

Ich steh hier voll auf der Leitung. Vielleicht kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Substanzen seien S1, S2 und S3.

Schreibe alle Möglichkeiten auf, daraus die Grundsubstanz herzustellen.

Wirkstoffe seien W1, W2, W3, W4, W5, W6, W7 und W8.

Schreibe alle Möglichkeiten auf, aus Grundsubstanz und Wirkstoffen die Zahnpast herzustellen.

Comments

Grundsubstanz: 3über2,

Wirkstoffe: 8!

Zahnpasta 3über2 * 8! ?

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Grundsubstanz: 3über2,

3über2 + 3über1, wegen max. 2 Substanzen.

Wirkstoffe: 8!

Das ist die Anzahl der Möglichkeiten, die Wirkstoffe aufzuzählen, zum Beispiel in der Reihenfolge, wie sie in die Grundsubstanz gemischt werden.

Ich weiß nicht, welche Beschränkungen es bei den Wirkstoffen gibt. Ich bin mir aber sicher dass die Reihenfolge nicht relevant ist.

Zahnpasta 3über2 * 8! ?

Multiplizieren ist richtig, allerdings dann 3über2 + 3über1 mit was auch immer bei den Wirkstoffen rauskommt.

Answer 2

Aloha :)

Die Grundsubstanz kann aus bis zu 3 Substanzen zusammengemischt werden. Aus Kostengründen können aber maximal 2 Substanzen verwendet werden. Das heißt, die Grundsubstanz besteht aus genau einer der 3 möglichen Substanzen oder aus genau 2 der 3 möglichen Substanzen. Es gibt $\binom{3}{1}=3$ Möglichkeiten, genau eine Grundsubstanz auszuwählen und es gibt genau $\binom{3}{2}=3$ Möglichkeiten, genau 2 Grundsubstanzen auszuwählen. Macht zusammen

$$\binom{3}{1}+\binom{3}{2}=6$$

Möglichkeiten für die Herstellung der Grundsubstanz.

Bei den Wirkstoffen haben wir 8 zur Verfügung. Die Aufgabenstellung sagt nichts darüber aus, wie viele davon konkret in der Zahnpasta sein sollen. Daher müssen wir annehmen, dass in der Zahnpasta mindestens 1 und maximal 8 dieser Wirkstoffe enthalten sein können. Die Anzahl der Kombinationen ist daher:

$$\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}+\cdots+\binom{8}{8}$$$$=\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}-\binom{8}{0}=\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}\cdot1^n\cdot1^{8-n}-1=(1+1)^8-1=255$$Wir haben also 255 mögliche Kombinationen von Wirkstoffen.

Für die Herstellung der Zahnpasta gibt es insgesamt $6\cdot255=1530$ mögliche Herstellungsarten.

Comments

Hi, ok bis kann ich dir im großen und ganzen folgen. warum mit n=o begonnen wird? Ich hätte gesagt n=1. 8überNull, weil mind.1? Danach verstehe ich es leider nicht mehr? Warum, wieso, weshalb? :-) Wäre Dankbar für eine Erklärung.

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Ich war nur zu faul, die Summe der Binomialkoeffizienten von Hand auszurechnen. Deswegen habe ich wie folgt gerechnet. Zu$$\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}+\cdots+\binom{8}{8}$$habe ich vorne $\binom{8}{0}$ addiert und hinten wieder abgezogen, damit der Wert der Summe sich nicht ändert:$$\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}+\cdots+\binom{8}{8}-\binom{8}{0}$$Dann habe ich alle Summanden mit einem "+" zu der Summe zusammengefasst:$$\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}-\binom{8}{0}$$Dann habe ich die Summenglieder mit einer 1 multipliziert, sodass sich ihr Wert nicht ändert:$$\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}\cdot\underbrace{1^n\cdot1^{8-n}}_{=1}-\binom{8}{0}$$Ziel des ganzen war, dass ich nun die allgemeine binomische Formel anwenden kann. Es gilt nämlich ganz allgemein:

$$(a+b)^m=\sum\limits_{n=0}^m\binom{m}{n}\cdot a^n\cdot b^{m-n}$$Wenn du das mit unserer Summe vergleichst, stellst du fest, dass beide gleich sind, wenn du $a=1$, $b=1$ und $m=8$ wählst. Daher ist unsere Summe gleich $(1+1)^8$. Damit habe ich oben weiter gerechnet:

$$\underbrace{\sum\limits_{n=0}^8\binom{8}{n}\cdot\underbrace{1^n\cdot1^{8-n}}_{=1}}_{(1+1)^8}-\underbrace{\binom{8}{0}}_{=1}=2^8-1=256-1=255$$

Wenn dir das zu fummelig ist, kannst du auch einfach die Binomialkoeffizienten von oben ausrechnen und die Summe von Hand bilden:

$$\binom{8}{1}=8$$$$\binom{8}{2}=28$$$$\binom{8}{3}=56$$$$\binom{8}{4}=70$$$$\binom{8}{5}=56$$$$\binom{8}{6}=28$$$$\binom{8}{7}=8$$$$\binom{8}{8}=1$$

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Super danke für die tolle Erklärung. Mathe ist leider nicht so meins, aber jetzt versteh ich warum. Thanks

Answer 3

Für die Herstellung von Zahnpasta kommen 1 Grundsubstanz sowie 8 verschiedene Wirkstoffe in Frage.

b) Die Grundsubstanz kann aus bis zu 3 Substanzen zusammengemischt werden. Aus Kostengründen können aber max. 2 Substanzen verwendet werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es die Grundsubstanz bzw. die Zahnpasta herzustellen?

((3 über 1) + (3 über 2)) * 2⁸ = 1536

Für jeden der 8 Wirkstoffe habe ich die Möglichkeit ihn zu nehmen oder auch nicht. Ich gehe mal davon aus, das wir auch alle Wirkstoffe weglassen können und dann nur eine Grundzahnpasta ohne Wirkstoff haben.