Beweis eines Grenzwertes, (n/(n+1))^{n^2+1}

Question

habe diese Aufgabe:

Man beweise, dass:

$$ \lim _{ n\quad \rightarrow \infty  }{ \left( \frac { n }{ n+1 }  \right) ^{ { n }^{ 2 }+1 }=0 } $$

Könnte mir jemand verraten, wie ich dabei vorgehen muss?

 

Grüße!

Answer 1

lim n→∞

(n/(n + 1))^{n^2 + 1}

= exp(ln((n/(n + 1))^{n^2 + 1}))

= exp((n^2 + 1) * ln(n/(n + 1)))

Wir betrachten nur den Grenzwert des Exponenten

(n^2 + 1) * ln(n/(n + 1))

n = 1/z lim z→0

= ((z^2 + 1)/z^2)·ln(1/(z + 1))

= ln(1/(z + 1)) / (z^2/(z^2 + 1))

Hospital

= - 1/(z + 1) / (2·z/(z^2 + 1)^2)

= - (z^2 + 1)^2/(2·z·(z + 1))

= -(z^4 + 2·z^2 + 1) / (2·z^2 + 2·z)

Das geht jetzt gegen -∞

Damit ist der Grenzwert

exp(-∞) = 0