Bijektiv oder nicht?

Question

Aufgabe:

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion \(f:\mathbb {R}\to\mathbb {R}\),

\(f(x) = \begin{cases} x - 3,&\text{falls } x\in(-\infty,4]) \\  2x - 7, \text{falls } x \in ( 4 , + \infty ) \end{cases} \)

Ist \(f\) bijektiv? Falls ja, \(f^{-1}\) berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass wenn f auf R stetig ist, dann ist es bijektiv allerdings steh ich gerade irgendwie auf dem Schlauch und habe absolut keine Ahnung wie ich hier vorangehen soll und würde mich auf eine Lösung freuen!

Answer 1

Erst mal die Zeichnung:

~plot~ (x-3)*(x<=4);(2x-7)*(x>4) ~plot~

Der Graph besteht aus den beiden schrägen Halbgeraden.

"stetig" und "bijektiv" hat nur begrenzt was miteinander zu tun.

In deinem Fall ist es in der Tat beides.

"bijektiv" bedeutet ja:  injektiv und surjektiv.

 Dem ist so, das siehst du am Graphen, wenn du dir alle

möglichen Parallelen zur x-Achse vorstellst:  Wenn jede den Graphen

genau einmal schneidet, dann ist die Funktion bijektiv.

Das ist ja hier so. Kannst du auch nachrechnen, du musst zwei Fälle

unterscheiden:  Sei y>1 :  (die Parallele zur x-Achse also "höher" als 1)

Dann hast du   y = 2x-7

                  <=>   y+7 = 2x

                  <=>   0,5y + 3,5 = x

und für y≤1 hast du   y = x-3

                      <=>  y+3 = x

In beiden Fällen lässt sich also die Gleichung eindeutig nach x auflösen,

die Funktion ist also bijektiv und du hast auch schon gleich die

Funktionsgleichung der Umkehrfunktion (musst nur x und y tauschen):

                                       x+3     für  x≤1 
                      f^-1(x) = 
                                       0,5x + 3,5     für  x > 1 

Answer 2

Weil f auf (-∞, 4) eine lineare Funktion ist, gilt

(1)        f ist auf (-∞, 4) stetig.

Weil f auf (4, -∞) eine lineare Funktion ist, gilt

(2)        f ist auf (4, ∞) stetig.

Es ist

(3)        lim_x→4 x-3 = 1.

Es ist

(4)        lim_x→4 2x - 7 = 1.

Aus (3) und (4) folgt

(5)        lim_x→4 f(x) = 1.

Es ist

(6)        f(4) = 4-3 = 1.

Aus (5) und (6) folgt

(7)        f ist bei 4 stetig.

aus (1), (2) und (7) folgt f ist auf ℝ stetig.

steh ich gerade irgendwie auf dem Schlauch

Es ist kurz vor 3 Uhr morgens am Wochenende. Und zwar nicht das erste mal in dieser Nacht. Könnte es vielleicht daran liegen? :-)