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Aufgabe:

Seien M = {(x,y) ∈ R2|x,y > 0} und f : M → M diejenige Abbildung, die jedem (x,y) ∈ M den Punkt (u,v) ∈ M zuordnet, gemäß der Vorschrift

u = xy, v = x /y .

 a) Zeigen Sie, dass f eine Bijektion ist.

 b) Wie lautet die Umkehrfunktion f-1 ?

 c) Skizzieren Sie die Bilder der in M gelegenen Abschnitte der Geraden , die parallel zur x-Achse bzw. y-Achse verlaufen.


Problem/Ansatz:

ich komme da nicht weiter kann können Sie mir bitte bei diesen Aufgaben helfen ?

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Zu a) und b):

Definiere g : MMg:M\rightarrow M durch g(x,y)=(xy,xy1)g(x,y)=(\sqrt{xy},\sqrt{xy^{-1}}).

Dann gilt:

(gf)(x,y)=g(f(x,y))=g(xy,xy1)=(xyxy1,xy(xy1)1)=(g\circ f)(x,y)=g(f(x,y))=g(xy,xy^{-1})=(\sqrt{xy\cdot xy^{-1}},\sqrt{xy(xy^{-1})^{-1}})=

=(x2,y2)=(x,y)=(\sqrt{x^2},\sqrt{y^2})=(x,y) und

(fg)(x,y)=f(g(x,y))=f(xy,xy1)=(f\circ g)(x,y)=f(g(x,y))=f(\sqrt{xy},\sqrt{xy^{-1}})=

=(xyxy1,xy(xy1)1)==(\sqrt{xy\cdot xy^{-1}},\sqrt{xy\cdot (xy^{-1})^{-1}})=

=(x2,y2)=(x,y)=(\sqrt{x^2},\sqrt{y^2})=(x,y).

Somit fg=idMf\circ g=id_M und gf=idMg\circ f=id_M, d.h.

g=f1g=f^{-1} und ff sind zu einander inverse Bijektionen.

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Du scheinst diese trockenen, abstrakten Dinge zu lieben, o ermane magne! :)

O supporter benefice,

mathematicus purus sum ;-)

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