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Aufgabe:

Wichtige Eigenschaften ablesen und Funktionsgleichung bestimmen. Überlegen Sie, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss.

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Problem/Ansatz:

Woran lese ich das ab? Wie weiß ich was was ist?

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Überlegen Sie, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss.

Woran lese ich das ab? 

Anzahl Extremalstellen, Anzahl Wendepunkte, Globalverlauf, Symmetrie


Wie weiß ich was was ist?


Beginne mit Grad 1: Geradengleichungen

Grad 2: Parabelgleichungen. Graph hat eine Symmetrieachse, die durch den Scheitelpunkt verläuft.

Grad 3: Graph hat einen Wendepunkt als Symmetriezentrum.

usw. 

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Aloha :)

Aus der linken Abbildung kann man folgende Eigenschaften der Funktion f(x)f(x) ablesen:f(0)=0  ;  f(1)=12  ;  f(2)=2  ;  f(2)=1f(0)=0\;;\;f(1)=\frac{1}{2}\;;\;f(2)=2\;;\;f'(2)=1

Um diese 4 Informationen verarbeiten zu können, benötigen wir 4 Unbekannte, also:f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+dAuf 0=f(0)=d0=f(0)=d folgt sofort d=0d=0, was die Funktion vereinfacht:f(x)=ax3+bx2+cxf(x)=ax^3+bx^2+cxUm die letzte Eigenschaft verarbeiten zu können, benötigen wir noch die Ableitung:f(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+cJetzt verarbeiten wir die verbliebenen 3 Eigenschaften:0,5=f(1)=a+b+c2a+2b+2c=10,5=f(1)=a+b+c\quad\Leftrightarrow\quad 2a+2b+2c=12=f(2)=8a+4b+2c4a+2b+c=12=f(2)=8a+4b+2c\quad\Leftrightarrow\quad 4a+2b+c=11=f(2)=12a+4b+c12a+4b+c=11=f'(2)=12a+4b+c\quad\Leftrightarrow\quad12a+4b+c=1Dieses Gleichungssystem wird gelöst durch:a=12    ;    b=2    ;    c=1a=-\frac{1}{2}\;\;;\;\;b=2\;\;;\;\;c=-1Das führt uns auf die Funktionsgleichung:f(x)=12x3+2x2xf(x)=-\frac{1}{2}x^3+2x^2-x

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f1(x) = -0,5x3+2x2-xZoom: x(-1…4) y(-1…3)


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