Max. Volumen von Ravioli Dose (Extremwert-Aufgabe)

Question

Aufgabe:

Die Oberfläche einer Dose ist O=1200cm². Welchen Durchmesser muss die Dose haben, damit das Volumen maximal ist?

Problem/Ansatz:

Hauptbedingung: V=πd² /4 × h

Nebenbedingung: 1200= πd(h+d/2)

Answer 1

Nebenbedingung nach h auflösen und in Hauptbedingung einsetzen. Eine Nullstelle der ersten Ableitung (zweite Ableitung <0) ist die Lösung.

Comments

Diese Lösung ist dann auch bei einer Apfelmus-Dose gültig.

Answer 2

Aloha :)

Die Oberfläche der Dose (bestehend aus Boden, Deckel und Mantel) beträgt:$$2\pi r^2+2\pi rh=1200\quad\Leftrightarrow\quad h=\frac{1200-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{600}{\pi r}-r$$Das Volumen dieser Dose beträgt:$$V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot\left(\frac{600}{\pi r}-r\right)=600\,r-\pi r^3$$Kandidaten für den Radius $r$, der das größte Volumen der Dose verspricht, finden wir, indem wir die Ableitung gleich $0$ setzen:$$V'(r)=600-3\pi r^2\stackrel{!}{=}0\;\;\Leftrightarrow\;\;\pi r^2=200\;\;\Leftrightarrow\;\;r^2=\frac{200}{\pi}\;\;\Leftrightarrow\;\;r\approx7,98$$Die zweite Ableitung $V''(r)=-6\pi r$ ist immer $<0$, weil der Radius $r$ nur positiv sein kann. Also liegt tatsächlich ein Maximum vor.

Der gesuchte Durchmesser beträgt also $d=2r\approx15,96$cm.