Trägheitsmoment einer Kugel und eines Würfels berechnen

Question

Hallo @all,

das Trägheitsmoment eines Körpers der Dichte $\rho(\vec r)$ um eine Drehachse haben wir definiert als:

$$\Theta=\int_V\rho(\vec r)\, r_{\perp}^2\,dV$$dabei ist $r_\perp$ der senkrechte Abstand des Punktes $\vec r$ von der Drehachse. Das habe ich alles verstanden. Jetzt habe ich aber irgendwie ein Brett vorm Kopf beim konkreten Berechnen. Der Professor wollte das noch an einem Beispiel vormachen, aber dann war die Vorlesung zu Ende.

a) Gesucht ist das Trägheitsmoment einer Kugel um eine Achse durch ihren Mittelpunkt. Der Radius der Kugel sei a, die Dichte $\rho$ sei homogen.

b) Gesucht ist das Trägheitsmoment eines homogen mit Masse gefülten Würfels der Kantenlänge a um eine seiner Kanten.

Kann mir bitte jemand bei der Mathematik helfen?

Vielen Dank im Voraus...

Comments

Ich denke nicht, dass es hier um Physik geht. Eluna hat konkret nach der Berechungsmethode gefragt. Sie schreibt ausdrücklich, dass sie Hilfe bei der Mathematik benötigt.

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Ja bitte, es geht mir um die mathematische Berechnung. Wie konkret werden die Integrale berechnet.

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Ja bitte, es geht mir um die mathematische Berechnung. Wie konkret werden die Integrale berechnet.

Stelle die Integrale zuerst auf. Die Integrale kann dir dann jemand vorrechnen.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir legen den Mittelpunkt der Kugel in den Koordinatenursprung. Wegen der Symmetrie wählen wir die z-Achse als Rotationsachse. Die Gleichung der Kugeloberfläche lautet (Radius a):$$x^2+y^2+z^2=a^2\quad\text{bzw.}\quad r_\perp^2+z^2=a^2$$Obwohl es hier um eine Kugel geht, drängen sich zur Berechnung Zylinderkoordinaten auf:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r_\perp\,\cos\varphi\\r_\perp\,\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r_\perp\in[0;\sqrt{a^2-z^2}]\;;\;\phi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[-a;a]$$Mit dem Volumelement $dV=dx\,dy\,dz=r_\perp\,dr_\perp\,d\varphi\,dz$ lautet das gesuchte Integral:$$\Theta=\rho\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_{-a}^a dz\int\limits_0^{\sqrt{a^2-z^2}}\,r_\perp^3\,dr_\perp=2\pi\rho\int\limits_{-a}^adz\left[\frac{1}{4}\,r_\perp^4\right]_0^{\sqrt{a^2-z^2}}$$$$\phantom{\Theta}=\frac{\pi}{2}\rho\int\limits_{-a}^a(a^2-z^2)^2\,dz=\frac{\pi}{2}\rho\int\limits_{-a}^a(a^4-2a^2z^2+z^4)\,dz$$$$\phantom{\Theta}=\frac{\pi}{2}\rho\left[a^4z-\frac{2}{3}a^2z^3+\frac{z^5}{5}\right]_{-a}^a$$$$\phantom{\Theta}=\frac{\pi}{2}\rho\left[\left(a^5-\frac{2}{3}a^5+\frac{a^5}{5}\right)-\left(-a^5+\frac{2}{3}a^5-\frac{a^5}{5}\right)\right]$$$$\phantom{\Theta}=\pi\,\rho\left(\frac{15-10+3}{15}a^5\right)=\frac{8}{15}\,\pi\,\rho\,a^5$$Mit der Masse $M=\rho\cdot V=\frac{4}{3}\pi\,a^3\,\rho$ der Kugel wird das Ergebnis etwas kürzer:$$\Theta=\frac{8}{15}\,\pi\,\rho\,a^5=\frac{2}{5}\,Ma^2$$

zu b) Hier kannst du das Integral in kartesischen Koordinaten sofort hinschreiben. Wir legen den Würfel in den ersten Oktanden und wählen die z-Achse als Rotationsachse.

$$\Theta=\rho\int\limits_0^a\int\limits_0^a\int\limits_0^a(x^2+y^2)\,dx\,dy\,dz=\frac{2}{3}\rho a^5=\frac{2}{3}Ma^2$$Wenn du noch Rückfragen hast oder ich irgendwo nicht gut erklärt habe, melde dich bitte einfach nochmal...

Comments

Vielen lieben Dank für das ausführliche Vorrechnen !!!

Mein Problem war, dass ich bei der Kugel mit Kugelkoordinaten rechnen wollte. Aber offensichtlich sind so reflexartige Annahmen nicht immer gut. Auf die Idee, mit Zylinderkoordinaten zu rechnen, wäre ich so nicht gekommen.

Wieder viel gelernt... Danke fürs Zeigen :)))

Answer 2

du kannst es auch mit Kugelkoordinaten rechnen. Aufgrund der Symmetrie ist bei der Kugel die Achse beliebig. Wir nehmen der Einfachheit halber die z-Achse.

In Kugelkoordinaten gilt

x=r cos(phi)sin(theta)

y=r sin(phi)sin(theta)

z=r cos(theta)

Dann ist der senkrechte Abstand r*sin(theta)

dV=r² sin(theta) drdphidtheta

r geht von 0 bis R

phi von 0 bis 2pi

und theta von 0 bis pi

Damit Θ

= rho* ∫ (0 bis R) r⁴ dr ∫( 0 bis 2pi) dphi

*∫(0 bis pi) sin³(theta)dtheta

Das erste Integral gibt 1/5 R⁵ , das zweite

2pi

und beim dritten schreibt man sin³(theta)dtheta

=sin²(theta) sin(theta)dtheta

=(1-cos²(theta))d(-cos(theta)),

und substituiert -cos(theta)=u

Dann ist das dritte Integral

∫ (-1 bis 1) (1-u²)du=4/3

Alle drei Integrale multipliziert ergibt dann

Θ=8/15 rho*pi * R⁵

Comments

Oha, da wäre ich so nicht drauf gekommen. Ist etwas komplizierter als mit Zylinderkoordinaten, aber ist völlig nachvollziehbar.

Danke dir vielmals fürs Vorrechnen.