Ungleichung per vollständiger Induktion beweisen

Question

Aufgabe:

$$\forall n \in \mathbb{N}, n \ge 6 : n \cdot 2^{n} < n!$$

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang: n= 6

$$6 \cdot 2^{6} = 384 < 720 = 6!$$

Induktionsannahme: $$\exists n \in \mathbb{N}, n \ge 6 : n \cdot 2^{n} < n!$$

Induktionsschritt: Hier komme ich nicht weiter, wie ist das vorgehen bei Ungleichungen? Ich würde jetzt erstmal folgendes schreiben:

$$(n+1) \cdot 2^{n+1} < (n+1)!$$

Comments

Stimmt die Behauptung denn?

Lies mal https://www.mathelounge.de/562662/fakultat-ungleichung-per-vollstand…

und dann https://www.mathelounge.de/286739/ungleichung-mit-fakultat-zeigen-vo…

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Hallo Lu,

dass die Behauptung stimmt habe ich bereits im Induktionsanfang festgehalten.

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Da hast du erst einen von unendlich vielen Fällen kontrolliert :)

Ich habe nicht behauptet, dass ich ein Gegenbeispiel gefunden habe. Aber vielleicht einen Link mit einer Beweisidee.

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Also die Aufgabenstellung lautet "Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion" daher gehe ich davon aus, dass die Behauptung stimmt. Fälle bei denen die Behauptung nicht gestimmt hat, hatten wir auch noch gar nicht :D

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Vielleicht geht's andersrum:
(n+1)!  = (n+1)·n! > (n+1)·n·2ⁿ >(n+1)·2·2ⁿ = (n+1)·2ⁿ⁺¹.

Answer 1

Hallo

das Vorgehen ist immer dasselbe, man geht von der Richtigkeit für n aus und versucht von da aus nach n+1 zu kommen

hier scheint mir einfacher die Ungleichung durch n zu dividieren und 2ⁿ<(n-1)! zu zeigen.

Gruß lul