Die reellen Zahlen sind Überabzählbar

Question

Ich hab mir nun den ein oder anderen Beweis dazu angeschaut und in meiner Übungsgruppe auch schon 2 Dozenten gefragt von denen bekomme ich allerdings keine konkrete Antwort.

Warum ist das nicht ohne das Vollständigkeitsaxiom zu beweisen? Warum überhaupt Axiome(Informatiker)?

3.4.7 Satz - Die Menge ℝ ist überabzählbar

Beweis: Die Idee ist leicht zu verstehen. Für die Details müssen wir ein wenig vorgreifen, denn dies ist ohne das Vollständigkeitsaxiom nicht zu beweisen.

Die Idee ist, eine injektive Abbildung f: F → ℝ von der Menge {0,1}-Folgen F nach ℝ anzugeben. Hat man so ein f, so erhält man die Behauptung: Denn f: F → f(F) ist dann bijektiv, also ist mit F auch f(F) überabzählbar. Also hat ℝ eine überabzählbare Teilmenge (nämlich f(F)) und ist damit nach Satz 3.4.3(1) auch überabzählbar.

Definiere f wie folgt: zu  $a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right) \in F$ sei $f(a)=0, a_{1} a_{2 \cdots}$, wobei dies als Dezimaldarstellung zu verstehen ist. Wie kann man das präzisieren, d.h. was bedeutet "Dezimaldarstellung"? Am einfachsten mittels der Reihe ("unendliche Summe").

$$f(a)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} 10^{-n}=\frac{a_{1}}{10^{1}}+\frac{a_{2}}{10^{2}}+\ldots$$
deren Bedeutung in Kapitel 7 erklärt werden wird. Diese Reihe konvergiert, was hier einfach mit dem Majorantenkriterium, die Majorante ist die geometrische Reihe  $\sum \limits_{n=1}^{\infty} 10^{-n}$, zu zeigen ist.

Es bleibt die Injektivität von f zu überprüfen. Intuitiv ist das klar. Zwei Zahlen mit verschiedenen Dezimaldarstellungen sind verschieden, oder? Nicht ganz, zum Beispiel 0,999... = 1. Hier geht aber trotzdem nichts schief, da nur Nullen und Einsen vorkommen.

Zu $a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots\right)$ und $b=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots\right)$ in $F$ mit $a \neq b$ sei $i_{0}$ der kleinste Index mit $a_{i_{0}} \neq b_{i_{0}}$.

Sei o. B.d. A. $a_{i_{0}}=0$ und $b_{i_{0}}=1$

(Wertebereiche eingeschränkt von {0,...9} ⇒ {0,1})

(Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, andernsfalls vertauscht man die Rolle von a und b).

Dann gilt $\quad f(a)=\quad 0, a_{1} \dots a_{i_{0}} a_{i_{0+1}} \cdots \quad \leq \quad 0, a_{1 \cdots} a_{i_{0}} 111 \ldots \quad< \quad 0, a_{1 \cdots} a_{i_{0}-1} b_{i_{0}} b_{i_{0+1} \cdots}=f(b)$

denn per Wahl von $i_{0}$ gilt $a_{i}=b_{i}$ fur $i<i_{0} .$ Weiter haben wir verwendet, dass $0,111\cdots <1$ gilt, denn dies ergibt die letzte Ungleichung nach Multiplikation mit $10^{-i_0} \mathrm{und}$ Addition von $0, a_{1} \ldots a_{i 0} .$ Wie wir sehen werden, ist $0,111 \ldots=\frac{1}{9},$ also kleiner als 1

Answer 1

Warum ist das nicht ohne das Vollständigkeitsaxiom zu beweisen?

Axiome sind unbewiesene Basisaussagen der Mathematik.

Warum überhaupt Axiome (Informatiker)?

Jede Aussage kann man hinterfragen. Dabei wird ihre Wahrheit mit anderen Aussagen begündet. Das ergibt eine Kette von Aussagen, die irgendwann ein Ende nehmen muss. An diesem Ende stehen die Axiome.

Comments

Also brauch ich Axiome um zu definieren was eine reelle Zahl ist und damit kann ich dann beweisen, dass diese überabzählbar sind? Und warum reicht es nicht, dass ich eine injektive Abbildung von einer überabzählbaren Menge definiere und zeige das dieselbe auch wirklich injektiv ist? Und wie kann ich jetzt meinen gedoppelten post fixen??

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Und warum reicht es nicht, dass ich eine injektive Abbildung von einer überabzählbaren Menge definiere und zeige das dieselbe auch wirklich injektiv ist?

Na, wenn du das kannst, dann nur zu.

Und wie kann ich jetzt meinen gedoppelten post fixen??

Weiß ich nicht. Ich weiß auch nicht, was 'fixen' ist.

Answer 2

Warum überhaupt Axiome(Informatiker)?

Jede Aussage kann auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft werden. Dabei wird die Wahrheit der Aussage durch andere Aussagen begründet. So ergibt sich ein Kette von Aussagen, die irgendwann ein Ende haben muss. An diesem Ende stehen die Axiome.