Zeigen, dass die Folge (q^n) divergiert, wenn |q| > 1.

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass die Folge (q^n) n ist in N (nat. Zahlen) divergiert.

Dabei soll |q| größer als 1 sein.

Problem/Ansatz:

Dass die Folge divergiert ist ja ziemlich logisch, da sie immer größer -> unendlich geht.

Wir haben aber gerade erst konvergenz und Folgen in der VL gehabt, und ich tue mir immer noch ein bisschen schwer mit dem Beweis...

Meine Idee war, bei

| an - a | < e

zu zeigen, dass an-a ja auch gegen unendlich geht, und daher größer als jedes gewählte e wird, auch wenn an einer best. Stelle n> k war.

Geht das? Bzw, kann mir jdm Tipps geben, wie ich sonst vorgehen kann?

Answer 1

Aloha :)

Setze \(x:=|q|-1\), dann ist \(x>0\), weil \(|q|>1\) nach Voraussetzung. Nach der Bernoulli-Ungleichung gilt daher für \(n\in\mathbb{N}\):$$|q|^n=(1+x)^n\ge1+nx$$Für jede mögliche Schranke \(S\) gibt es nach dem Archimedischen Axiom ein \(n_0\in\mathbb{N}\) mit \(n_0x>S-1\). Für dieses \(n_0\) ist dann \(1+n_0x>S\) bzw. \(|q|^{n_0}>S\). Die Folge \(|q|^n\) ist also nicht beschränkt und daher divergent.

Answer 2

Führe einen indirekten Beweis.Nimm an

Es gibt ein a, sodass | a_n - a | < ε für alle ε>0.

Führe dies zum Widerspruch.