Für \(a>0\) und \(x>0\) kann man folgende Rechnung durchführen:$$\begin{aligned}a^x&=x^{\frac{a^2}{2}}&|\ln\\ x\ln(a)&=a^2\ln(x^{\frac{1}{2}})\\\frac{\ln(a)}{a^2}&=\frac{\ln(x^{\frac{1}{2}})}{x}\end{aligned}$$Daraus lässt sich durch scharfes Hinsehen \(x=a^2\) sofort ermitteln.
Multiplikation mit \(2\) und \(\ln(x^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\ln(x)\) ergibt weiter $$\begin{aligned} \frac{2\ln(a)}{a^2}&=\frac{\ln{x}}{x}&|z\coloneqq \ln(x)\\\frac{2\ln(a)}{a^2}&=z\mathrm{e}^{-z}\\-\frac{2\ln(a)}{a^2}&=-z\mathrm{e}^{-z}\end{aligned}$$mit der Lösung \(z=-W\left(-\frac{2\ln(a)}{a^2}\right)\), wobei \(W\) die Lambertsche_W-Funktion (Umkehrfunktion zu \(x\mathrm{e}^{x}\)) ist.
Allgemein gilt für \(r\mathrm{e}^{r}=s\) also \(r=W(s)\) und damit \(W(s)\mathrm{e}^{W(s)}=s\) bzw. \(\frac{W(s)}{s}=\mathrm{e}^{-W(s)}\).
Das nutzen wir aus, um \(x=\mathrm{e}^{z}=\mathrm{e}^{-W\left(-\frac{2\ln(a)}{a^2}\right)}=-\frac{a^2}{2\ln(a)}W\left(-\frac{2\ln(a)}{a^2}\right)\) als endgültige Lösung zu schreiben.
Der Fall mit \(\ln(a)=0\) und \(\ln(x)=0\), also \(a=1\) bzw. \(x=1\) wurde bereits oben behandelt. Weiterhin gilt \(-\frac{2\ln(a)}{a^2}\geq -\frac{1}{\mathrm{e}}\) (siehe weiter unten). Die Lösung ist also wohldefiniert.
Liefert diese Darstellung tatsächlich weitere Lösungen als \(x=a^2\)? Ja, für den Fall \(-\frac{2\ln(a)}{a^2}\in [-\frac{1}{\mathrm{e}};0)\), denn auf diesem Intervall besitzt die Funktion zwei Funktionsäste.
Man sieht nun schnell ein, dass \(-\frac{2\ln(a)}{a^2}<0\) für \(a>1\). Andererseits ist \(-\frac{2\ln(a)}{a^2}=\frac{\ln(a^2)}{a^2}=-\frac{1}{\mathrm{e}}\) für \(a=\sqrt{\mathrm{e}}\) erfüllt und diese Schranke ist scharf (Nachweis einfach über Tiefpunktbestimmung).
Fazit:
Für \(0<a\leq1\) ist \(x=a^2\) die einzige Lösung der Gleichung.
Für \(a>1\) sind \(x_1=-\frac{a^2}{2\ln(a)}W_{-1}\left(-\frac{2\ln(a)}{a^2}\right)\) und \(x_2=-\frac{a^2}{2\ln(a)}W_0\left(-\frac{2\ln(a)}{a^2}\right)\) die Lösungen der Gleichung, die für \(a=\sqrt{\mathrm{e}}\) identisch sind. Je nach Wert von \(a\) stimmt eine dieser Lösungen mit \(x=a^2\) überein.
Für \(a=0\) ließe sich \(x=0\) als Lösung angeben, wenn man \(0^0=1\) definiert.
Für \(a<0\) sind erhebliche Einschränkungen an \(x\) zu machen.
Selbst für \(a>0\) kann man noch weitere Lösungen finden. Beispielsweise hat die Gleichung \(2^x=x^2\) (also \(a=2\)) die beiden ganzzahligen Lösungen \(x_1=2\) und \(x_2=4\), aber betrachtet man die Graphen, so ist klar, dass es auch eine weitere Lösung für \(x<0\) geben muss.
