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Es geht um diese Aufgabe hier :


Ist die folgende Aussage wahr: Für alle Elemente f,g einer Gruppe (G, ◦) und alle ganzen Zahlen n ∈ Z gilt die Gleichung: g^n ◦ f^n = (g ◦ f)^n


Muss ich hier nur die Gruppenaxione anwenden um zu prüfen ob das stimmt?

Ich bedanke mich im voraus für die Hilfe.


LG :)

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1 Antwort

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Aloha :)

Das kannst du durch vollständige Induktion beweisen. Zunächst für \(n\ge0\):

Verankerung bei \(n=0\):$$(g\cdot f)^n=(g\cdot f)^0=1=1\cdot1=g^0\cdot f^0=g^n\cdot f^n\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$(g\cdot f)^{n+1}=(g\cdot f)^n\cdot (g\cdot f)\stackrel{IV}{=}g^n\cdot f^n\cdot g\cdot f=g^n\cdot g\cdot f^n\cdot f=g^{n+1}\cdot f^{n+1}\quad\checkmark$$

Falls nun \(n<0\) ist, können wir \(m:=-n>0\) setzen und das obere Ergebnis nutzen:

$$g^n\cdot f^n=g^{-m}\cdot f^{-m}=(g^{-1})^m\cdot(f^{-1})^m=(g^{-1}\cdot f^{-1})^m$$$$\phantom{g^n\cdot f^n}=((g\cdot f)^{-1})^m=(g\cdot f)^{-m}=(g\cdot f)^n\quad\checkmark$$

Avatar von 148 k 🚀

Fehlt da nicht ein a. ?

Verstehe ich dich falsch, oder täte es ein k... auch ?

Aber bei ...  käme dann natürlich auch ein a vor.  :-)

Ich habe mich auch schon oft gefragt, warum nur Gruppen abelsch sein können, Ringe und Körper hingegen immer kommutativ.

Ich habe vorausgesetzt, dass die Gruppe abelsch ist, denn wenn die Operation nicht kommutativ ist, gilt die Behauptung nicht:$$(xy)^2=(xy)(xy)= x(yx)y\ne x(xy)y=x^2y^2$$

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