Sei V ein endlicher F2-Vektorraum.

Question

1. Sei V ein endlicher F₂-Vektorraum. Zeigen Sie: Es gibt ein n ∈ N mit |V | = 2ⁿ

2. Wieviele Basen hat der F_2-Vektorraum Fⁿ₂?

Answer 1

Sei V ein endlicher F2-Vektorraum.

Dann hat V eine Basis mit n (n∈ℕ) Elementen, etwa  v₁,v₂,...,v_n.

Jedes v aus V ist eindeutig als Linearkombination dieser

Elemente darstellbar.

Die Koeffizienten in dieser Linearkombination sind nur

0-en und 1-en. Also ist es jedem v∈V eindeutig ein n-Tupel

aus 0-en und 1-en zugeordnet.  Die Menge dieser n-Tupel

ist aber gerade F₂^n , hat also 2^n Elemente.

==>   |V | = 2^n.   q.e.d.

Answer 2

Sei V ein endlicher F2-Vektorraum

Dann ist V insbesondere auch endlichdimensional.

Sei B eine Basis von V.

Dann ist jedes v ∈ V eindeutig darstellbar als Linearkombination

        v = ∑_b∈B a_b · b

mit a_b ∈ F₂ für jedes b∈ B. Weil a_b nur zwei Werte annehmen kann, gibt es genau 2^|B|  solche Linearkombinationen.