Aufgabe:
Zeigen Sie per Vollständiger Induktion:
a) Für alle n ∈ ℕ0 und alle x ∈ ℝ gilt:
(1-x) ∏k=0n 1-x2^k = 1 - x2n+1
Beachten Sie die Definition abc := a(bc). Anmerkung: abc heißt a hoch b hoch c
b) Für alle n ∈ ℕ gilt:
k=1∑n k2 = 6n (n+1) (2n+1)
Hinweis: Im Induktionsschritt sollte man irgendwann 6n+1 ausklammern.
c) Für alle n ∈ ℕ und alle x ∈ ℝ mit x ≥ -1 gilt:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
Erläutern Sie auch kurz, inwiefern/ob/wo Sie die Voraussetzung
"x ≥ -1" verwendet haben.
d) Für alle n ∈ ℕ ist 4n+1 + 52n-1 durch 21 teilbar.
(Vielleicht hilft der Hinweis, dass 25 = 4 + 21)
Problem/Ansatz: