Aloha :)
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\left(\sqrt{(x+h)+5}+5\right)-\left(\sqrt{x+5}+5\right)}{h}$$$$=\frac{\sqrt{(x+h)+5}+5-\sqrt{x+5}-5}{h}=\frac{\sqrt{(x+h)+5}-\sqrt{x+5}}{h}$$Jetzt kannst du mit \((\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5})\) erweitern, um danach die dritte binomische Formel zu verwenden:
$$=\frac{\left(\overbrace{\sqrt{(x+h)+5}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x+5}}^{=b}\right)\left(\overbrace{\sqrt{(x+h)+5}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x+5}}^{=b}\right)}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}$$$$=\frac{\overbrace{\left((x+h)+5\right)}^{=a^2}-\overbrace{(x+5)}^{=b^2}}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}=\frac{x+h+5-x-5}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}$$$$=\frac{h}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}=\frac{1}{\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}}$$Für \(h\to0\) erhältst du den Differentialquotienten bzw. die Ableitung:
$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{2\sqrt{x+5}}$$
