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 Aufgabe:Bestimmen sie den Differenzenquotient der Funktion f im Intervall I.

f(x)=(√x+5)+5

I=[-4;-1]


Problem/Ansatz:

Wenn man den Differenzenquotient jetzt ausrechnen will ist im Bruchstrich oben in der Wurzel ein Minus was macht man da ? Hab versucht die Wurzel in ^1/2 umzuwandeln komme aber immer nicht nicht drauf ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte.

Danke schon mal im voraus

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f(x) = √(x + 5) + 5

m = (f(-1) - f(-4))/(-1 - (-4))

m = ((√(-1 + 5) + 5) - (√(-4 + 5) + 5))/(-1 + 4)

m = ((√4 + 5) - (√1 + 5))/3

m = ((2 + 5) - (1 + 5))/3

m = (7 - 6)/3 = 1/3

Avatar von 477 k 🚀

Müsste die Wurzel nicht für x+5 gelten oder hast du es so gemacht weil sonst müsste da ja 2+√5 stehen und wieso wurden die Seiten gewechselt so dass 7-6 und nicht 6-7 dort steht ?


Ich bin nicht so gut in Mathe Trotzdem danke

Müsste die Wurzel nicht für x+5 gelten

Ja richtig. So habe ich es auch gerechnet. Daher ist x + 5 bei mir in Klammern.

und wieso wurden die Seiten gewechselt so dass 7-6 und nicht 6-7 dort steht ?

Ich habe nirgendwo die Seiten gewechselt, sondern nur die Formel für den Diffenenzenquotienten genommen und eingesetzt und vereinfacht. Vesuche man schrittweise Zeile für Zeile durchzugehen und es zu verstehen.

m = (f(b) - f(a))/(b - a)

a = -4 ; b = -1

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Aloha :)

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\left(\sqrt{(x+h)+5}+5\right)-\left(\sqrt{x+5}+5\right)}{h}$$$$=\frac{\sqrt{(x+h)+5}+5-\sqrt{x+5}-5}{h}=\frac{\sqrt{(x+h)+5}-\sqrt{x+5}}{h}$$Jetzt kannst du mit \((\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5})\) erweitern, um danach die dritte binomische Formel zu verwenden:

$$=\frac{\left(\overbrace{\sqrt{(x+h)+5}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x+5}}^{=b}\right)\left(\overbrace{\sqrt{(x+h)+5}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x+5}}^{=b}\right)}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}$$$$=\frac{\overbrace{\left((x+h)+5\right)}^{=a^2}-\overbrace{(x+5)}^{=b^2}}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}=\frac{x+h+5-x-5}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}$$$$=\frac{h}{h\left(\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}\right)}=\frac{1}{\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}}$$Für \(h\to0\) erhältst du den Differentialquotienten bzw. die Ableitung:

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{(x+h)+5}+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{2\sqrt{x+5}}$$

Avatar von 148 k 🚀

Oh. Du hast dir sehr viel Mühe gegeben. Leider war der Differenzenquotient und nicht der Differentialquotient gesucht.

Deswegen habe ich beides angegeben ;)

Danke für die ganze Mühe aber wir hatten den Times noch nicht im Unterricht


Trotzdem danke

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