Beweis/Widerspruch mit Allquantor Existenzquantor

Question

Aufgabe:

Beweisen oder Widerlegen Sie:

a)

$$∀a ∈ R^{>0} ∃b ∈ R^{>0} : \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} > \frac{a+b}{2}$$

b)

$$∃b ∈ R^{>0} ∀a ∈ R^{>0} : \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} > \frac{a+b}{2}$$

Answer 1

Aloha :)

Seien $a,b\in\mathbb{R}^{>0}$ und zusätzlich $a\ne b$, dann gilt:

$$\left.(a-b)^2>0\quad\right.$$$$\left.a^2-2ab+b^2>0\quad\right|\;+2ab$$$$\left.a^2+b^2>2ab\quad\right|\;+a^2+b^2$$$$\left.2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2\quad\right|\;:4$$$$\left.\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{(a+b)^2}{4}\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}>\frac{a+b}{2}\quad\right.$$

Damit schauen wir uns die Behauptungen an:

a) Für alle $a\in\mathbb{R}^{>0}$ können wir ein beliebiges $b\in\mathbb{R}^{>0}$ wählen, das die Bedingung sofort erfüllt, wenn nur $b\ne a$ ist. Daher ist die Aussage wahr $\checkmark$

b) Es gibt ein $b\in\mathbb{R}^{>0}$, sodass die Behauptung für alle $a\in\mathbb{R}^{>0}$ gilt. Das ist falsch, denn dann würde die Behauptung auch für dasjenige $a$ gelten, das gleich $b$ ist. Dann sind aber beide Seiten gleich.

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