Funktion per Trigonometrische Identitäten vereinfachen?

Question

Aufgabe:

Meine Aufgabe ist es eig. die folgende Funktion abzuleiten, jedoch wollt ich mir im Vorhinein überlegen ob ich die Funktion vlt. durch Trigonometrische Identitäten vereinfachen kann, damit ich mir beim Ableiten dann leichter tue.

$$ y(x)=\frac{\sin 2 x}{1+\tan ^{2} x} $$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre folgender gewesen:

tan²(x) kann man ja als sin²x/cos²x definieren

und 1 könnte man also cos²x + sin²x definieren richtig?

Dann komm ich zu folgendem:

$$ \frac{\sin (2 x)}{\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)+\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}} $$

Kann man hier noch irgendwie weiterereinfachen per trig. Identitäten?

Answer 1

Aloha :)

$$1+\tan^2x=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$$$$\sin(2x)=\sin(x+x)=2\sin x\cos x$$$$\Rightarrow\;\;y(x)=2\sin x\cos x\cdot\cos^2x=2\sin x\cos^3x$$

Comments

Vielen Dank erstmal!!

Dürft ich fragen wie du von 1+sin²x/cos²x auf den nächsten schritt gekommen bist?

mfg.

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Ich habe die \(1\) mit \(\cos^2x\) erweitert:$$1=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}$$

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vielen dank lg!

Answer 2

sin(2x) = 2*sin(x)cos(x)

tan^2(x)= sin^2(x)/cos^2(x)

Das sollte weiterhelfen. Im Nenner Hauptnenner bilden!

Comments

Bei sin(2x) ist ein Fehler.

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danke sehr :)

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Danke,  hab das PLUS durch MAL ersetzt. Tippfehler. :)

Answer 3

sin(2x)=2·sin(x)·cos(x) kannst du noch einsetzen.

Comments

Danke sehr!!