Beweisen mit Schubfachprinzip

Question

Ich möchte mithilfe des Schubfachsprinzip folgendes Beweisen:

1)  In jeder Menge von sieben natürlichen Zahlen gibt es immer ein Paar von Zahlen, deren Summe oder deren Differenz ein Vielfaches der 10 ist.

2.)  Gegeben seien fünf beliebige Punkte des R2, deren Koordinaten ganze Zahlen sind. Aus diesen Punkten können zwei ausgewählt werden, für die der Mittelpunkt ihrer Verbindungsstrecke ebenfalls ganzzahlige Koordinaten hat.

Wie gehe ich nun am besten vor?

zz:     n + n    bzw. n - n = 10 oder ein Vielfaches von 10, wobei n ein Paar aus Zahlen einer Menge mit 7 natürlichen Zahlen ist.

Answer 1

zu 1) ich betrachte von den sieben Zahlen lediglich ihren Rest bei der Division durch \(10\). Haben zwei der Zahlen den gleichen Rest, so ist ist ihre Differenz ein Vielfaches von \(10\). Bleibt also nur der Fall zu betrachten, wenn die Reste alle paarweise verschieden sind.

Ich bilde vier Schubladen und benenne diese mit den Zahlenpaarungen \((1+9)\), \((2+8)\), \((3+7)\) und \((4+6)\). Nun bleiben von den sieben Zahlen mindestens fünf übrig, deren Rest nicht \(0\) und nicht \(5\) sind. Und diese fünf verteile ich auf die vier Schubladen gemäß dem Wert ihres Restes, wobei zwangsläufig in einer der Schubladen zwei landen. Die Summe dieser beiden Zahlen ist dann ein Vielfaches von \(10\).

zu 2) ein Tipp: dass 10 Verbindunglinien möglich sind, ist richtig, aber irrelevant ;-) Es sind auch hier nur vier Schubladen ... falls Du nicht selbst darauf kommst, so melde Dich bitte noch mal.

Gruß Werner

Answer 2

zu 2)

Die Mittelpunktskoordinaten sind das arithmetische Mittel der Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt.

Das arithmetische Mittel zweier ganzer Zahlen ist nur dann eine ganze Zahl, wenn beide gerade oder wenn beide ungerade sind (also, wenn die Differenz dieser Zahlen gerade ist)

Zwischen 5 Punkten gibt es insgesamt 5*4/2=10 Verbindungslinien. Weise mit dem Schubfachprinzip nach, dass eine Verbindungslinie dabei sein muss, bei der sowohl die Differenz der x-Koordinaten als auch die Different der y-Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt gerade ist.

zu 1) Bei 7 verschiedenen Zahlen gibt es 21 Paare der Form (größere Zahl ; kleinere Zahl).