Grenzwert von c_n = (2^n + n^2)^{1/n}

Question

$$c_n = (2^n  +n^2 )^{1/n}$$

Hallo.

Für mich ist das Thema relativ neu und mir fällt es schwer, den Grenzwert dieser Folge zu bestimmen. Mir ist bewusst, dass cn gegen 2 läuft, allerdings bin ich nicht in der Lage es mathematisch nachvollziehbar und korrekt darzustellen.

Für Lösungsvorschläge wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Ich habe mich der Aufgabe mal angenommen und unter folgendem Link bearbeitet:

https://docs.google.com/document/d/11j3D_8sELRSodDOR145PVUiK5ihG6zcLd5aLF6HLgeg/pub

Wie du sieht ist es manchmal günstig den Term zunächst in eine e-Funktion zu verwandeln.

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Grenzwert (2^n + n^2)^{1/n}

 

lim (n → ∞) (2^n + n^2)^{1/n}

lim (n → ∞) e^LN((2^n + n^2)^{1/n})

lim (n → ∞) e^{1/n·LN(2^n + n^2)}

 

Wir betrachten nur den Exponenten

 

lim (n → ∞) LN(2^n + n^2)/n

 

Regel von L'Hospital (mehrfache Anwendung)

 

lim (n → ∞) (2^n·LN(2) + 2·n)/(2^n + n^2)

lim (n → ∞) (2^n·LN(2)^2 + 2)/(2^n·LN(2) + 2·n)

lim (n → ∞) (2^n·LN(2)^3)/(2^n·LN(2)^2 + 2)

lim (n → ∞) (2^n·LN(2)^4)/(2^n·LN(2)^3)

lim (n → ∞) LN(2)

 

Der Exponent geht also gegen LN(2)

 

lim (n → ∞) e^{LN(2)}

lim (n → ∞) 2

 

Damit ist der Grenzwert 2.