ja, gibt es in der Tat: \(x\approx 1.6850\). Die Existenz lässt sich (leicht) mit dem Zwischenwertsatz zeigen. Es gibt allerdings eine sehr clevere Substitution (Vieta) mit der du das sogar rein-algebraisch lösen kannst. (schwerer, aber cooler!)
Option Zwischenwertsatz:
wir definieren die Funktion \(f(x)=x^3-2x\). Der Zwischenwertsatz besagt:
Sei \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) eine Funktion mit \(a,b\in \mathbb{R}\) und \(a<b\). Sei \(s\) ein Wert zwischen den beiden Funktionswerten \(f(a)\) und \(f(b)\). Es gilt also \(f(a)\leq s \leq f(b)\) oder \(f(b)\leq s \leq f(a)\). Dann gibt es mindestens eine relle Zahl \(x\in [a,b]\) mit \(f(x)=s\).
Als Polynom ist \(f\) stetig auf ganz \(\mathbb{R}\), also insbesondere auf \([-2,2]\subset \mathbb{R}\). Wir betrachten fortan \(f |_{[-2,2]}\). Nun ist \(f(-2)=-4\leq \sqrt{2}\leq f(2)=4\), also exisitiert nach dem ZWS ein \(x\in [-2,2]\), so dass \(f(x)=\sqrt{2}\).
Zur Stetigkeit:
gegeben sei \(f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto x^3-2x\). Die formale Definition lautet:
Für alle \(\varepsilon >0\) exisitiert ein \(\delta >0\), so dass für alle \(x,x_0\in \mathbb{R}\) gilt, dass \(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)
Wir schätzen \(|f(x)-f(x_0)|\) nach oben ab:$$|f(x)-f(x_0)|=|x^3-2x-x_0^3+2x_0|=|(x^3-x_0^3)+2(x_0-x)|\leq |x^3-x_0^3|+2|x_0-x|<|x^3-x_0^3|+2\delta=|(x-x_0)(x^2+x\cdot x_0+x_0^2)|+2\delta <\delta |x^2+x\cdot x_0+x_0^2|+2\delta$$ Du jast jetzt (fast) eine binomische Formel im Betrag. Addiere \(+x_0\cdot x -x_0\cdot x\), schätze nochmal mit der Dreiecksungleichung ab...
