Stetigkeit der Funktion anhand der Definition zeigen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f : R → R, x → x³ − 2x

a) Zeigen Sie die Stetigkeit dieser Funktion anhand der Definition.

b) Existiert ein x ∈ R mit $f(x) = \sqrt{2}$?

Comments

Wie habt ihr Stetigkeit definiert (Schule/Uni)? In der Schule verwendet man üblicherweise das Folgenkriterium.

Answer 1

ja, gibt es in der Tat: $x\approx 1.6850$. Die Existenz lässt sich (leicht) mit dem Zwischenwertsatz zeigen. Es gibt allerdings eine sehr clevere Substitution (Vieta) mit der du das sogar rein-algebraisch lösen kannst. (schwerer, aber cooler!)

Option Zwischenwertsatz:

wir definieren die Funktion $f(x)=x^3-2x$. Der Zwischenwertsatz besagt:

Sei $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ eine Funktion mit $a,b\in \mathbb{R}$ und $a<b$. Sei $s$ ein Wert zwischen den beiden Funktionswerten $f(a)$ und $f(b)$. Es gilt also $f(a)\leq s \leq f(b)$ oder $f(b)\leq s \leq f(a)$. Dann gibt es mindestens eine relle Zahl $x\in [a,b]$ mit $f(x)=s$.

Als Polynom ist $f$ stetig auf ganz $\mathbb{R}$, also insbesondere auf $[-2,2]\subset \mathbb{R}$. Wir betrachten fortan $f |_{[-2,2]}$. Nun ist $f(-2)=-4\leq \sqrt{2}\leq f(2)=4$, also exisitiert nach dem ZWS ein $x\in [-2,2]$, so dass $f(x)=\sqrt{2}$.

Zur Stetigkeit:

gegeben sei $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, x\mapsto x^3-2x$. Die formale Definition lautet:

Für alle $\varepsilon >0$ exisitiert ein $\delta >0$, so dass für alle $x,x_0\in \mathbb{R}$ gilt, dass $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$

Wir schätzen $|f(x)-f(x_0)|$ nach oben ab:$$|f(x)-f(x_0)|=|x^3-2x-x_0^3+2x_0|=|(x^3-x_0^3)+2(x_0-x)|\leq |x^3-x_0^3|+2|x_0-x|<|x^3-x_0^3|+2\delta=|(x-x_0)(x^2+x\cdot x_0+x_0^2)|+2\delta <\delta |x^2+x\cdot x_0+x_0^2|+2\delta$$ Du jast jetzt (fast) eine binomische Formel im Betrag. Addiere $+x_0\cdot x -x_0\cdot x$, schätze nochmal mit der Dreiecksungleichung ab...

Answer 2

$\sqrt{2}=x^3-2x$

Ja, es gibt eine Lösung. $x\approx 1,685$

Comments

Und wie kommt man auf diese Zahl? Ohne taschentechner

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Und wie kommt man auf diese Zahl?

Algebraisch mit Vietas Substitution:

http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html

Beachte aber, dass es einen Unterschied gibt zu sagen "Es gibt eine Nullstelle!" und "Es gibt eine Nullstelle und ich kann sie dir sagen!". Die Aufgabenstellung erfordert - so wie sie formuliert ist - Ersteres. Für die Existenz (also "Es gibt eine Nullstelle!") reicht der Zwischenwertsatz.

Answer 3

f(x) = √2

x³-2x =√2

x³ - 2x-√2 = 0

Lösung mit Näherungsverfahren oder Cardano-Formel.

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Besser: verwende den Zwischenwertsatz