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Aufgabe:

Ich verstehe nicht wieso

\( \frac{1}{x*(x^2+1)} \)  = \( \frac{1}{x} \) - \( \frac{x}{x^2+1} \)  ist


Problem/Ansatz:

Habe es mit Partialbruchzerlegung versucht, aber bin nicht weit gekommen :(

Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte

von

2 Antworten

+1 Daumen

Partialbruchzerlegung ist ne gute Idee:

A/x + (Bx+C)/ (x^2+1) = 1 / (x*(x^2+1) )

<=>  (A(x^2+1) + (Bx+C)*x )/ (x^2+1) = 1 / (x*(x^2+1)

<=>  (Ax^2+Bx^2 + A+Cx )/ (x^2+1) = 1 / (x*(x^2+1)

==>  A+B=0  und C=0 und A=1 ==>     A=1  und B=-1

Passt also !

von 193 k 🚀

Danke für die Antwort!

Könntest du mir vielleicht noch sagen, wie du auf  (Bx+C)/ (x2+1) gekommen bist?

Ich hatte Partialbruchzerlegung bisher immer nur mit einem Polynom im Zähler und weil in der Aufgabe nur eine 1 im Zähler steht, komme ich damit nicht wirklich klar :(

Schau mal dort :

https://gymnasiumseelow.de/unterricht/faecher/ma/13/partialbruchzerlegung_ein.htm

insbesondere das 2. Beispiel im unteren gelben Kasten.

Danke! Ich habe es jetzt verstanden.

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Aloha :)

Du kannst im Zähler eine sogenannte "nahrhafte Null" addieren. Sie ist so gewählt, dass man den Bruch in 2 Summanden auseinanderziehen und die Summanden anschließend kürzen kann:$$\frac{1}{x\cdot(x^2+1)}=\frac{1+\overbrace{x^2-x^2}^{=0}}{x(x^2+1)}=\frac{1+x^2}{x(x^2+1)}-\frac{x^2}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{(x^2+1)}$$

Der erste Bruch wurde mit \((x^2+1)\) gekürzt und der zweite mit \(x\).

von 34 k

Super, vielen Dank!

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