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Berechnung der EW:

$$ p(\lambda) =\operatorname{det}(\underline{A}-\lambda \underline{E}) = \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} {3-\lambda} & {-10} & {-10} \\ {0} & {3-\lambda} & {-0} \\ {0} & {-\lambda} & {-2-\lambda} \end{array}\right) \\ =(3-\lambda)^{2}(-2-\lambda) \\  \Rightarrow \lambda_{1}=3 \quad(2 \text { fach }) \\ \lambda_{2} =-2 $$

Berechnung der zugehörigen EV:
zu \( \lambda_{1}: \quad\left(\begin{array}{ccc}{3-\lambda_{1}} & {-10} & {-10} \\ {0} & {3-\lambda_{1}} & {-0} \\ {0} & {-5^{1}} & {-2-\lambda_{1}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-5} & {-5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{· -\frac{1}{10}} \\ \\ {· -\frac{1}{5}}\end{array}\right) \)
$$\Rightarrow\left(\begin{array}{lll} {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) \\ \dim E_{ \lambda_{1}} = 2 \\ \Rightarrow \underline{v}=(\alpha, \beta,-\beta)^{T} \quad \alpha, \beta \in R \\ {\Rightarrow v_1 =(1,0,0)^{T},}\qquad {(\alpha, \beta)=(1,0)} \\ { v_2=(0,1,-1)^{T},} \qquad {(\alpha, \beta)=(0,1)}$$



Problem/Ansatz:

doppelte Nullstelle. λ1und2 =3

Die Matrix wird so umgeformt dass da steht

( 0 1 1)

( 0 0 0)

( 0 0 0)

Warum wird sie auf diese Form gebracht? Man hätte ja jetzt y2=-y3

Was danach passiert verstehe ich leider überhaupt nicht.

Wie kommt man auf v2 und v3. !!!!

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1 Antwort

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Du bringst die Matrix zum Lösen immer in die Zeilenstufenform.

Letztlich bedeutet

(0 1 1)
(0 0 0)
(0 0 0)

y + z = 0 oder y = -z

x und z können frei gewählt werden und y ergibt sich dann aus z.

Das geben deine zugehörigen Eigenvektoren jetzt auch an.

Avatar von 477 k 🚀

Danke schonmal und sorry dass ich nochmal fragen muss.


d.h für v1: wählt man hier für x= 1 und für z= 0

y ergibt sich dann durch: 0x+y+0z= 0 => y= 0


und für v2: hier wählt man für x= 0 und für z= -1 ???

y ergibt sich dann durch

0x - y - z= 0 

=> y = -z

y= -(-1) = 1 ??????????????


Könnte ich also auch für z= 1 wählen und dann hätte ich für y = -1 ??

Und warum wurde einmal für x=1, und dann x=0 gewählt?

Hätte man nicht für v1 und v2,  x= 1 wählen können?

ich kapier das leider noch nicht ganz.

Nein. Wenn du einen eigenvektor hast, dann ist auch ein Vielfaches dieses eigenvektors ein Eigenvektor. Und wenn du zwei Eigenvektoren hast dann ist auch jede linearkombination dieser Eigenvektoren wieder ein Eigenvektor.

Alle Eigenvektoren lassen sich also darstellen als

X = r * [1, 0, 0] + s * [0, 1, -1]

im Grunde also

x = r
y = s
z = -s

Probier mal ob alle diese angaben die Gleichung

y = -z 

erfüllen.

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