Aufgabe:
Sei 0<q<1. Bestimmen Sie eine Reihe mit dem Summenwert 1(1−q)2 \frac{1}{(1-q)^2} (1−q)21
wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen? Schon mal danke!
Nutze ∑k=0∞(k+1)qk\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)q^kk=0∑∞(k+1)qk
kann ich dann einfach ein 0<q<1 benutzen oder wie zeige ich das?
z.z. u.a. über das Cauchy-Produkt.
Lies mal unter
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Text erkannt:
Für ∣q∣<1 |q|<1 ∣q∣<1 konvergieren nach Grenzwertbildung der zugehörigen endlichen Reihe auch die unendlichen Reihen (folgilich sinddiese sogar gliedweise integrierbar):∑k=0∞kqk=qddq∑k=0∞qk=qddq11−q=q(1−q)2∑k=0∞k2qk=qddqqddq∑k=0∞qk=qddqqddq11−q=qddqq(1−q)2=q(1+q)(1−q)3 \begin{array}{l} {\sum \limits_{k=0}^{\infty} k q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^{2}}} \\ {\sum \limits_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \sum \limits_{k=0}^{\infty} q^{k}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \frac{1}{1-q}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} q} \frac{q}{(1-q)^{2}}=\frac{q(1+q)}{(1-q)^{3}}} \end{array} k=0∑∞kqk=qdqdk=0∑∞qk=qdqd1−q1=(1−q)2qk=0∑∞k2qk=qdqdqdqdk=0∑∞qk=qdqdqdqd1−q1=qdqd(1−q)2q=(1−q)3q(1+q)analog für höhere Potenzen.
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