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Aufgabe:

Meine Aufgabe ist es Im f herauszufinden,

$$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$

$$(x,y) \rightarrow (3x + 2y , -x -2/3y)$$


Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass

$$\text{ Im f   }= \left\{(λ, -1/3λ) | λ \in \mathbb{R}\right\}$$

ist, da man ziemlich einfach erkennt dass der 2. Ausdruck -1/3 des ersten ist. Aber falls ich das nicht direkt sehen würde: wie müsste ich vorgehen um es zu bestimmen?

Kann ich einfach überprüfen ob sie linear unabhängig sind?

Also die Matrix

$$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\ -1 & -2/3 & 0 \end{pmatrix}$$

aufstellen und dann auflösen, wobei ich

$$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

erhalte, also weiss dass meine Vektoren linear abhängig sind. Und daraus kann man dann ablesen, um wieviele Parameter man reduzieren darf. (hier 1)

Die Frage ist, wenn ich mich zum Beispiel im 4-dimensionalen befinden würde, wie weiss ich was ich durch welche Linearkombination ersetzen darf? Sagen wir, ich hätte so herausgefunden, dass ich mein Tupel um 2 Unbekannte "reduzieren" kann, also noch 2 Parameter brauche. Wie würde ich dann herausfinden wie ich die anderen beiden durch eine Linearkombination der beiden darstellen kann?


Vielen, vielen Dank für eure Hilfe!

von

1 Antwort

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das Bild hast du ja schon. Du willst es lediglich von überflüssigen Variablen befreien :-)

\(\begin{pmatrix} 3x+2y \\ -x-2/3y \end{pmatrix}=x·\begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix}+y·\begin{pmatrix} 2 \\ -2/3 \end{pmatrix}\)

Damit hast du schon 2 Vektoren, die ein Erzeugensystem des Biides bilden. Daraus will man jetzt eine Basis auswählen.

Dazu musst du eine maximale linear unabhängige Teilmenge des EZS finden, was hier natürlich durch "genaues Hinsehen" möglich ist: Man kann jeden der beiden oder auch ein Vielfaches davon nehmen.

z. B.    Bild f  =  \( \left\{λ·\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} | λ∈ℝ\right\}\)

Ein Verfahren, wie man bei größerer Dimension aus einem gegebenen EZS eine Basis auswählen (und damit überflüssige Variablen eliminieren) kann, wird hier gezeigt:

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!355:Basis_aus_EZS_auswaehlen

Gruß Wolfgang

von 83 k 🚀

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