Gegeben ist die Funktionsschar x^2+kx

Question

a.) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass die Funktion fk(x) = x^2 + kx an der Stelle 4 einen relativen Tiefpunkt hat. Kann man auch ein k finden, so dass fk an der Stelle 4 einen relativen Hochpunkt hat?

b.) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches x - Achse bei 3 und die y - Achse bei -6 schneidet und bei x=1 und x=-1 Extremstellen hat.

c.) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung geht und im Punkt (2/4) eine Wendetangente hat, die parallel zur Geraden y = -6x + 2 ist.

Comments

ist hier auch gegeben, dass k> 0 ist, wie bei:
https://www.mathelounge.de/67730/gegeben-ist-die-funktion-fk-x-x-4-kx-2-mit-k-0

??

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nein ist hier nicht gegeben.

Answer 1

a.) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass die Funktion fk(x) = x² + kx an der Stelle 4 einen relativen Tiefpunkt hat. Kann man auch ein k finden, so dass fk an der Stelle 4 einen relativen Hochpunkt hat?

Sx = -b/(2a) = -k/(2) = -k/2 = 4

k = -8 damit bei +4 ein Tiefpunkt ist.

Um einen Hochpunkt kann es sich nie handeln, da es immer eine nach oben geöffnete Parabel ist.

b.) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches x - Achse bei 3 und die y - Achse bei -6 schneidet und bei x=1 und x=-1 Extremstellen hat.

f(3) = 0, f(0) = -6, f'(1) = 0, f'(-1) = 0

f(x) = 1/3·x^3 - x - 6

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe. Kannst du mir noch bei Frage c.) helfen?

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c.) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung geht und im Punkt (2/4) eine Wendetangente hat, die parallel zur Geraden y = -6x + 2 ist.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(0) = 0
f(2) = 4
f'(2) = -6
f''(2) = 0

Du erhältst das Gleichungssystem:

d = 0
8a + 4b + 2c + d = 4
12a + 4b + c = -6
12a + 2b = 0

Das löst du mit dem Gaussverfahren. Du erhältst als Lösung die Funktion:

f(x) = 2·x^3 - 12·x^2 + 18·x