1.Ableitung der folgenden Funktionen bestimmen

Question

Aufgabe:

a) y= $e^{x^{2} sin x}$

b) y= $\sqrt{x^{3}+3x^{2}}$

c) y= $\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{ln x}$

d) y= $\sqrt[3]{x}$ arctan x

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand sagen ob meine Lösungen sind und mir bei der c) und d) einen Lösungsweg zeigen mit Berechnungsweg.

Meine Lösungen:

a) y' = x$e^{x^{2}·sin x}$ (2 sin(x) + x cos(x))

b) y' = $\frac{3x (x+2)}{2\sqrt{x+3} |x|}$

Danke euch im Voraus.

Comments

a) und b) sind richtig.

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Könntest du mir auch bitte mit der c und d helfen?

Answer 1

Im Zweifelsfalle kannst du prüfen bei:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=differentate+e%5E%28x%5E2*sin%…

Und für c) schreibe dir das als   y = x^(2/3)  /  ln(x)

und benutze die Quotientenregel.

bei  d) unterscheide die Fälle x<0 und x>0 und kürze jeweils.

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Okay verstehe das nun bei c, aber d ist mir noch unklar. Wie mach ich das dort?

Answer 2

Hallo,

c ) mittels Quotientenregel:

u= x^(2/3)                  v= ln(x)

u' = 2/3 *x^(-1/3)        v' = 1/x

y' =u' v -u v'/v²

$\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2 / 3}}{\log (x)}\right)=\frac{2 \log (x)-3}{3 \sqrt[3]{x} \log ^{2}(x)}$

 dabei ist log(x) =ln(x)

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Dankeschön, das hat mir weitergeholfen

Answer 3

$$\textrm{c)}\quad y = \dfrac{\sqrt[3\:]{x^{2}}}{\ln(x)} \quad\Leftrightarrow\quad y \cdot \ln(x) = \sqrt[3\:]{x^{2}}$$Beide Seiten ableiten, nach $y'$ umstellen und vereinfachen: $$y'\cdot\ln(x)+\dfrac{y}{x}=\dfrac{2}{3\cdot \sqrt[3\:]{x}} \\[16pt] y'\cdot\ln(x)=\dfrac{2}{3\cdot \sqrt[3\:]{x}}-\dfrac{y}{x} \\[16pt] y'=\dfrac{\dfrac{2}{3\cdot \sqrt[3\:]{x}}-\dfrac{y}{x}}{\ln(x)} \\[16pt] y'=\dfrac{\dfrac{2}{3\cdot \sqrt[3\:]{x}}-\dfrac{\sqrt[3\:]{x^{2}}}{x\cdot\ln(x)}}{\ln(x)} = \dots$$

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Könntest du mir bitte auch bei der d behilflich sein?