nte Ableitung einer Funktion bzw. Term aus Wertetabelle finden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für alle n ∈ ℕ die n-te Ableitung der Funktion h : ℝ → ℝ mit
h(x) = x²e^-2x, x ∈ ℝ, für n > 2.

Problem/Ansatz:

Habe meine n-te Ableitung ziemlich fertig.
Ich bin soweit gekommen, dass ich folgendes habe:

(-1)ⁿ(2ⁿx² - 2ⁿn + ???) * e^-2x

Dazu erstmal die Frage ist der Ansatz richtig? Oder gibt es da einen besseren. Vielleicht auch mit der Leibniz-Regel.
Dann muss ich für die Fragezeichen einen Term mit n finden. Ich komme aber nicht drauf. Ich habe aber folgende Wertetabelle:
n=2          ??? = 2

n=3          ??? = 12

n=4          ??? = 48

n=5          ??? = 160

Kann dazu vielleicht jemand einen Term finden?

Ich freue mich auf eure Vorschläge.

Comments

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3. (4 Punkte) Bestimmen Sie für alle \( n \in \mathbb{N} \) die \( n \) -te Ableitung der Funktion \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ \begin{array}{l} {\text { die } n \text { -te Ableitung der Funktion } h: \mathbb{R}} \\ {h(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-2 x}, \quad x \in \mathbb{R}} \end{array} $$
indem Sie für \( n \geq 2 \) den Satz 2.14 anwenden.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß nicht genau wie diese Aufgabe zu lösen ist...

Mit Satz 2.14 ist die Leipniz-Regel gemeint. Ich hab also erstmal die Ableitung von h gebildet:

h'(x) = u'(x) * v(x) + v'(x) * u(x)

h'(x) = 2x * e^-2x - 2e^-2x * x^2   /ausklammern

        = e^-2x (2x - e^-2x * x^2)

        = 2x -e^-2x * x^2    /ausklammern

        = x (2 - e^-2x * x)

        = 2 - e^-2x * x

Ist die Berechnung der Ableitung soweit korrekt? Und wie müsste ich jetzt weiter vorgehen?

Ich bedanke mich für jede Hilfe.

---

Gottfried Wilhelm L. schrieb sich mit B.

Answer 1

Möglich wäre \(2^{n-1}\displaystyle\binom{n}{2}\).

Answer 2

Hallo,

geschickter wäre es, 2^n auszuklammern.

(-1)^n 2^n(x^2 - nx + ???) * e^{-2x}

und jetzt durch probieren:

n=1 : ???=1

n=2 : ???=2

n=3 : ???=3

Jetzt sollte alles klar sein ;)

Comments

Hallo,

damit ist wahrscheinlich eher die Leibnitz-Regel für die n-te Ableitung gemeint.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Produktregel#H%C3%B6here_Ableitungen

Einfach einsetzen.