Berechnung Reihe Summenzeichen

Question

Hallo wie berechne ich ... $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n!} = \, ?$$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Summe einer Reihe berechnen

Stichworte: reihen,summe

Aufgabe:

Berechne \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n-1}{n!}} \)

Problem/Ansatz:

Mir fällt im Moment leider kein Ansatz ein

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da hatten wir gerade - siehe https://www.mathelounge.de/679350

Answer 1

Scheibe dir die ersten Teilsummen auf:

1,1/2, 5/6, 23/24,119/120 ... dann siehst du deren Muster \( \frac{n!-1}{n!} \) = 1-1/n! da lim (1/n!) für n→∞ gegen Null geht, gehen die Teilsummen gegen 1.

Answer 2

Σ (n = 1 bis ∞) (n - 1) / n!

= Σ (n = 1 bis ∞) (n / n! - 1 / n!)

= Σ (n = 1 bis ∞) (1 / (n - 1)! - 1 / n!)

= lim (n → ∞) (1 / 0! - 1 / 1!) + (1 / 1! - 1 / 2!) + (1 / 2! - 1 / 3!) + ... + (1 / (n - 1)! - 1 / n!)

= lim (n → ∞) 1 / 0! - 1 / n!

= 1 - 0 = 1