0 Daumen
914 Aufrufe


Die lineare Abbildung f : R3R3R3 f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} werde mit der Matrix A=(131110101) A=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {0} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right) beschrieben, d. h.
f(x)=Ax f(x)=A x für alle xR3. x \in \mathbb{R}^{3} . Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B[f]B, B[f]_{B}, wenn B B die Basis B=(v1,v2,v3) B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) ist mit
v1=(121),v2=(110),v3=(322) v_{1}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-1} \\ {0} \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l} {3} \\ {2} \\ {2} \end{array}\right)

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Matrix AA erwartet rechts als Eingangsgrößen Vektoren mit Koordinaten bezüglich der Standardbasis EE. Als Ergebnis liefert sie wieder Vektoren mit Koordinanten bezüglich der Standardbasis EE, d.h.:EAE=(131110101)_EA_E=\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 1\\1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)Wir suchen nun die Abbildungsmatrix BAB_BA_B die rechts Koordinaten bezüglich der Basis BB erwartet und links ebenfalls Koordinaten bezüglich der Basis BB liefert. Die erhalten wir so:

BAB=BidEEAEEidB_BA_B={_B\text{id}_E}\cdot{_EA_E}\cdot{_E\text{id}_B}

Mit EidB_E\text{id}_B rechnen wir Vektoren, die bezüglich der Basis BB angegeben sind, in Vektoren bezüglich der Basis EE um. Dann lassen wir mittels EAE_EA_E die Abbildung wirken. Schließlich transformieren wir mit BidE_B\text{id}_E das Ergebnis der Abbildung wieder in den entsprechenden Vektor bezüglich der Basis BB.

Die geordneten Vektoren (v1,v2,v3)(\vec v_1,\vec v_2, \vec v_3) bilden die Basis BB, ihre Koordinaten sind jedoch in der Standardbasis EE angegeben. Das heißt der Vektor (1,0,0)B(1,0,0)_B wird auf (1,2,1)E(1,2,-1)_E abgebildet, der Vektor (0,1,0)B(0,1,0)_B wird auf (1,1,0)E(-1,-1,0)_E abgebildet und der Vektor (0,0,1)B(0,0,1)_B wird auf (3,2,2)E(3,2,2)_E abgebildet. Die Transformationsmatrix EidB_E\text{id}_B erhalten wir also, indem wir die Basisvektoren von BB als Spalten in eine Matrix schreiben:

EidB=(113212102)_E\text{id}_B=\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 3\\2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)Die inverse Matrix dazu liefert uns die Transformationsmatrix BidE_B\text{id}_E in die andere Richtung, also von der Basis EE zur Basis BB. Die Berechnung der Inversen führe ich hier nicht vor, sondern gebe sie einfach nur an:BidE=(EidB)1=(221654111)_B\text{id}_E=\left(_E\text{id}_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}-2 & 2 & 1\\-6 & 5 & 4\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)

Bleibt noch die eigentliche Berechnung, von der ich auch nur das Ergebnis angebe:

BAB=(221654111)(131110101)(113212102)=(8513291845537)_BA_B=\left(\begin{array}{c}-2 & 2 & 1\\-6 & 5 & 4\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 1\\1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 3\\2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8 & 5 & -13\\-29 & 18 & -45\\-5 & 3 & -7\end{array}\right)

Avatar von 153 k 🚀

Ich hatte gerade beim Lesen dieser Antwort ein riesiges Aha-Erlebnis! Das hatte ich bis dato nie so richtig verstanden .Das ist ganz hervorragend erklärt... kurz, präzise und super verständlich.

Danke an Fragensteller und Antwortgeber für die Erleuchtung.

0 Daumen

Wenn Du die Basisvektoren in eine Matrix stellst, dann hast Du eine Basiswechselmatrix

ETB={v1,v2,v3} _ET_B=\left\{v_1,v_2,v_3\right\}

also von B nach E.

Kommst mit dem Hinweis weiter?

Avatar von 21 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage