Irrtum von WolframAlpha?

Question

Aufgabe:

Hallo Kollegen,

gegeben ist die Funktion  f: ℝ² → ℝ  mit   f(x,y) = (x²+2y²) · e^{-(x^2+y^2)}

Da offensichtlich  f(0,0) = 0  und  für (x.y) ≠ (0,0)  f(x,y) ≥ 0 gilt, müsste (0,0) doch wohl eine globale Minimumstelle sein.

Kann es sein, dass WolframAlpha sich hier "vertut"?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Optimize+%28x%5E2%2B2*y%5E2%29*e%5E%28-%28x%5E2%2By%5E2%29%29

Gruß Wolfgang

Answer 1

Hallo,

ja wolfram ist da ein bisschen durcheinander, siehe auch dieses Beispiel:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Optimize+%28x%5E2%2By%5E2%29*e%5E%28-%28x%5E2%2By%5E2%29%29

Comments

Die geben sich anscheinend mit 3 lokalen Maxima zufrieden. Irgendwann muss man wohl beim Aufsuchen von lokalen Extrema aufhören, wenn man das automatisiert.

Allgemeiner bekommt man erst mal interessante Angaben, aus denen sich die Symmetrie der Fragestellung ablesen lässt. Weiter unten dann auch die Information, dass WA wohl über ℂ rechnet.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2%2By%5E2%29*e%5E%28-%28x%5E2%2By%5E2%29%29

Contour plot:

 

Roots:
\( y=-i x \)
\( y=i x \)

Answer 2

Die Vollversion von Mathematica findet das Minimum ebenfalls nicht, wenn man Minimize[] verwendet, und auch nicht wenn man NMinimize[] (numerisch) verwendet.

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Wäre interessant zu wissen, ob VMM die lokalen Maxima als globale Maxima identifiziert.

Ich denke ja, dass die lokalen Extrema alle gefunden werden?

Answer 3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Optimize+%28x%5E2%2B2*y%5E2%29*e%5E%28-%28x%5E2%2By%5E2%29%29

Text erkannt:

Local maxima:
\( \max \left\{\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right\}=\frac{2}{e} \) at \( (x, y)=(0,-1) \)
\( \max \left\{\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right\}=\frac{2}{e} \) at \( (x, y)=(0,1) \)
Local minimum:
\( \min \left\{\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right\}=0 \quad \) at \( (x, y)=(0,0) \)

 

Text erkannt:

Contour plot:
100

 Könnte zu "flach" sein für das Newtonverfahren oder sonst numerisch irgendwo hängen bleiben.

"Nicht gefunden" heisst nicht, dass es keins gibt.

Wenn du weniger genau suchst, macht WA etwas mehr: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2%2B2*y%5E2%29*e%5E%28-%28x%5E2%2By%5E2%29%29 und du kannst selbst (logisch) bessere Antworten finden. WA rechnet i.A. nicht von Vornherein damit, dass die Variabeln für reelle Zahlen stehen.

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Ich denke, dass auch die lokalen Maxima global sind, und die liegen wohl so weit "oben" dass numerische Probleme von WA in meinen Augen nicht sehr Vertrauen erweckend erscheinen,

Letzteres gilt auch für das Nichtauffinden eines globalen Minimums, das man mit "bloßen Augen" eindeutig verifizieren kann.

Wenn ich mich recht erinnere, habe ich mit Hilfe meines uralten Rechenprogramms auch in der Matrizenrechnung mal eine richtige Antwort geschrieben, die du damals aufgrund eines anderen WA-Ergebnisses angezweifelt hast. Ich bin mir aber nicht mehr sicher, ob das damals nur ein Eingabefehler war.

Answer 4

Globale Maxima findet w. auch nicht, aber immerhin lokale.

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Das war mir durchaus klar.

Die besonders einfache Argumentation für das globale Minimum bot sich aber an.