Auf der MengeM:={(a11a12a21a22);aij∈IR; 1≤i, j≤2}der (2,2)-Matrizen wird durch

Question

Auf der Menge \( M:=\left\{\left(\begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right) ; a_{i j} \in \mathbb{R} ; 1 \leq i, j \leq 2\right\} \) der \( (2,2) \) -Matrizen wird durch

$$ \begin{array}{l} {\left(\begin{array}{ll} {a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} {b_{11}} & {b_{12}} \\ {b_{21}} & {b_{22}} \end{array}\right):=\left(\begin{array}{ll} {a_{11}+b_{11}} & {a_{12}+b_{12}} \\ {a_{21}+b_{21}} & {a_{22}+b_{22}} \end{array}\right)} \\ {\left(\begin{array}{ll} {a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ll} {b_{11}} & {b_{12}} \\ {b_{21}} & {b_{22}} \end{array}\right):=\left(\begin{array}{cc} {a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21}} & {a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22}} \\ {a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21}} & {a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22}} \end{array}\right)} \end{array} $$

eine Addition und eine Multiplikation definiert.

Zeigen Sie:

(a) Die Addition ist assoziativ, kommutativ, es gibt ein Nullelement und \( A+X=B \) ist für alle \( A, B \in M \) in \( M \) lösbar.

(b) Für beliebige \( A, B, C \in M \) gilt \( A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C \)

Hallo, wie muss ich bei der a und b vorgehen?

Answer 1

Die Addition ist assoziativ,

Da musst du zeigen  : Für solche Matrizen A,B,C gilt

(A+B)+C = A + (B+C)

Geht so:

$$ (\begin{pmatrix}  {a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}  {b_{11}} & {b_{12}} \\ {b_{21}} & {b_{22}} \end{pmatrix})+\begin{pmatrix}  {c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  {a_{11}}+{b_{11}} & {a_{12}}+{b_{12}} \\ {a_{21}}+{a_{21}} & {a_{22}} +{a_{22}}  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}  {c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \end{pmatrix} $$ $$ =\begin{pmatrix}  ({a_{11}}+{b_{11}})+{c_{11}} & ({a_{12}}+{b_{12}})+{c_{12}} \\ ({a_{21}}+{a_{21}})+{c_{21}} & ({a_{22}} +{a_{22}})+{c_{22}}  \end{pmatrix} $$

Und wegen der Assoziativität von (ℝ; +) also weiter

$$ =\begin{pmatrix}  {a_{11}}+({b_{11}}+{c_{11}}) & {a_{12}}+({b_{12}}+{c_{12}}) \\ {a_{21}}+({a_{21}}+{c_{21}} )& {a_{22}} +({a_{22}}+{c_{22}} ) \end{pmatrix} $$

etc. wieder zurück zu A + (B+C) und Assoziativität ist bewiesen.

Comments

Und wie muss ich bei der b) vorgehen?

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Entsprechend einfach die Definitionen für plus und mal verwenden.