Schnittpunkte und Fläche berechnen

Question

Aufgabe: Schnittpunkte  und Fläche berechnen zwischen den Graphen beider Funktionen zwischen den Schnittpunkten

                f(x)=x²           g(x) = ax³    a € [1;2]

Problem/Ansatz: x² +ax³

                         0=-x²+ax³

                         0 = -x (-x²+a)  hab ich das soweit richtig ??

Comments

Der richtige Ansatz wäre f(x)=g(x) gewesen.

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... der anscheinend auch so (unaufgeschrieben) verwendet wurde, denn  0=-x²+ax³ folgt daraus.

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@ab: Stimmt, das Minus vor dem x^2 habe ich gar nicht bemerkt. Bleibt also übrig, den Ansatz richtig aufzuschreiben und gegen Ende richtig auszuklammern.

Answer 1

hab ich das soweit richtig ??

Also wenn ich

-x (-x²+a)

wieder ausmultipliziere, erhalte ich x³-ax.

Das ist nicht das, was rauskommen sollte...

Answer 2

\( \int\limits_{0}^{1} \) x² - x³ = \( \frac{1}{12} \)

\( \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \) x² - 2x³ = \( \frac{1}{96} \)

Answer 3

Differenzfunktion
d(x) = g(x) - f(x) = a·x^3 - x^2

Stammfunktion
D(x) = a·x^4/4 - x^3/3

Schnittpunkte d(x) = 0
a·x^3 - x^2 = x^2·(a·x - 1) = 0 --> x = 0 ∨ x = 1/a

f(0) = 0 → (0 | 0)
f(1/a) = 1/a^2 → (1/a | 1/a^2)

Fläche
∫ (0 bis 1/a) d(x) dx = D(1/a) - D(0) = -1/(12·a^3)

Die Fläche beträgt 1/(12·a^3) FE.

Answer 4

Mit etwas Überlegung bekommt man gleich heraus, welcher Graph "oben" und welcher "unten" liegt, damit hat man die Fläche mit dem Integral direkt (und nicht erst nach dem verschämten Weglassen des Minuszeichens) angeben.

Die Angabe der Schnittpunkte beider Graphen ist dagegen eine verzichtbare Zusatzleistung.

Comments

Sunny hatte schon einmal ein Frage bzgl. des Integrals zwischen zwei Funktionen gestellt und offenbar hat es noch nicht "klick" gemacht. Deswegen kann jede Zusatzleistung nur hilfreich sein.

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Aufgabe: Schnittpunkte  und Fläche berechnen zwischen ...

Anscheinend besteht der Lehrer darauf auch die Schnittpunkte auszurechnen.

Warum schreibe ich g(x) - f(x) auf. Einfach weil g die höhere Potenz von x hat und die kann man üblicherweise nach vorne schreiben. Dann vermeidet man das der erste Term negativ und der zweite positiv ist.

Weiterhin kann die Fragestellerin lernen, das es völlig egal ist wie herum man die Differenzfunktion notiert.

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Auch wenn es schon vier Tage her ist: Leider hatte ich die Scheuklappen auf und mir nur die reine Integralaufgabe angesehen. Dort wäre die Angabe der Schnittstellen ausreichend gewesen für die notwendigen Integrationsgrenzen.
Die vorher geforderte Angabe der Schnittpunkte hatte ich dummerweise übersehen.

Tut mir leid!